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Theorem indpi 8531
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indpi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indpi.3  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
indpi.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
indpi.5  |-  ps
indpi.6  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 1pi 8507 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
21elexi 2797 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
32eqvinc 2895 . . . . 5  |-  ( 1o  =  A  <->  E. x
( x  =  1o 
/\  x  =  A ) )
4 indpi.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 indpi.5 . . . . . 6  |-  ps
6 indpi.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
75, 6mpbiri 224 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ph )
83, 4, 7gencl 2816 . . . 4  |-  ( 1o  =  A  ->  ta )
98eqcoms 2286 . . 3  |-  ( A  =  1o  ->  ta )
109a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =  1o  ->  ta ) )
11 pinn 8502 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
12 elni2 8501 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
13 nnord 4664 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
14 ordsucss 4609 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  ->  suc  (/)  C_  A )
)
1513, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  ->  suc  (/)  C_  A ) )
16 df-1o 6479 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  suc  (/)
1716sseq1i 3202 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  C_  A  <->  suc  (/)  C_  A )
1815, 17syl6ibr 218 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  ->  1o  C_  A ) )
1918imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  A )  ->  1o  C_  A )
2012, 19sylbi 187 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  1o  C_  A )
21 1onn 6637 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
22 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  e.  N.  <->  1o  e.  N. ) )
23 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1o  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  1o ) )
2422, 23anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o ) ) )
2524, 6imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1o  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o )  ->  ps ) ) )
26 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  N.  <->  y  e.  N. ) )
27 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  y ) )
2826, 27anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y ) ) )
29 indpi.2 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3028, 29imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( (
y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch ) ) )
31 pinn 8502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
32 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  om  <->  suc  y  e.  om )
)
33 peano2b 4672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  om  <->  suc  y  e. 
om )
3432, 33syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  om  <->  y  e.  om ) )
3531, 34syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  N.  ->  y  e.  om )
)
3635adantrd 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  e.  om ) )
37 ltpiord 8511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  e.  x ) )
381, 37mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  N.  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  e.  x ) )
3938biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  e.  x )
40 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  e.  x  <->  1o  e.  suc  y ) )
41 elsuci 4458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o  e.  suc  y  -> 
( 1o  e.  y  \/  1o  =  y ) )
42 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
43 0lt1o 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  e.  1o
44 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1o  =  y  ->  ( (/) 
e.  1o  <->  (/)  e.  y ) )
4543, 44mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1o  =  y  ->  (/)  e.  y )
46 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o  =  y  ->  y  =/=  (/) )
4842, 47jaoi 368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  y  =/=  (/) )
4941, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  e.  suc  y  -> 
y  =/=  (/) )
5040, 49syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  e.  x  ->  y  =/=  (/) ) )
5139, 50syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  =/=  (/) ) )
5236, 51jcad 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) ) )
53 elni 8500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) )
5452, 53syl6ibr 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  e.  N. ) )
55 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  <N  x )
56 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  <N  x  <->  1o 
<N  suc  y ) )
5755, 56syl5ib 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  <N  suc  y ) )
5854, 57jcad 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y ) ) )
59 addclpi 8516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  e.  N. )
601, 59mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  e.  N. )
61 addpiord 8508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
621, 61mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
63 pion 8503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  On )
64 oa1suc 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6662, 65eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  suc  y )
6766eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  (
x  =  ( y  +N  1o )  <->  x  =  suc  y ) )
6867biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  x  =  ( y  +N  1o ) )
6968eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  e. 
N. 
<->  ( y  +N  1o )  e.  N. )
)
7060, 69syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  e. 
N.  ->  x  e.  N. ) )
7170ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( y  e.  N.  ->  ( y  e.  N.  ->  x  e.  N. )
) )
7271pm2.43d 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( y  e.  N.  ->  x  e.  N. )
)
7356biimprd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  <N  suc  y  ->  1o  <N  x )
)
7472, 73anim12d 546 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  (
x  e.  N.  /\  1o  <N  x ) ) )
7558, 74impbid 183 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y ) ) )
7675imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ph ) ) )
77 indpi.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
7867, 77syl6bir 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
x  =  suc  y  ->  ( ph  <->  th )
) )
7978adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ( x  =  suc  y  ->  ( ph  <->  th )
) )
8079com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ( ph 
<->  th ) ) )
8180pm5.74d 238 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
8276, 81bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
83 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  N.  <->  A  e.  N. ) )
84 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  A ) )
8583, 84anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( A  e.  N.  /\  1o  <N  A ) ) )
8685, 4imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( A  e.  N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta ) ) )
875a1ii 24 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  om  ->  (
( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o )  ->  ps ) )
88 ltpiord 8511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  y  <->  1o  e.  y ) )
891, 88mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  ( 1o  <N  y  <->  1o  e.  y ) )
9089pm5.32i 618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  <->  ( y  e.  N.  /\  1o  e.  y ) )
9190simplbi2 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( 1o  e.  y  ->  (
y  e.  N.  /\  1o  <N  y ) ) )
9291imim1d 69 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( 1o  e.  y  ->  ch ) ) )
93 ltrelpi 8513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
9493brel 4737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ( 1o  e.  N.  /\  suc  y  e.  N. )
)
95 ltpiord 8511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  suc  y  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  suc  y  <->  1o  e.  suc  y ) )
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ( 1o  <N  suc  y  <->  1o  e.  suc  y ) )
9796ibi 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  1o  e.  suc  y )
982eqvinc 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  =  y  <->  E. x
( x  =  1o 
/\  x  =  y ) )
9998, 29, 7gencl 2816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  =  y  ->  ch )
100 jao 498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  =  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  ch ) ) )
10199, 100mpi 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  ch ) )
10241, 101syl5 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( 1o  e.  suc  y  ->  ch ) )
10397, 102syl5 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ch ) )
10492, 103syl6com 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  (
y  e.  N.  ->  ( 1o  <N  suc  y  ->  ch ) ) )
105104imp3a 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  (
( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ch ) )
10616sseq1i 3202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  C_  y  <->  suc  (/)  C_  y )
107 0ex 4150 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
108 sucssel 4485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( suc  (/)  C_  y  ->  (/)  e.  y ) )
109107, 108ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  (/)  C_  y  ->  (/)  e.  y )
110106, 109sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  C_  y  ->  (/)  e.  y )
111 elni2 8501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  (/)  e.  y ) )
112 indpi.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
113111, 112sylbir 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  (/) 
e.  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
114110, 113sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  C_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
115105, 114syl9r 67 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  C_  y )  -> 
( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
116115adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  om )  /\  1o  C_  y )  ->  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
11725, 30, 82, 86, 87, 116findsg 4683 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  1o  e.  om )  /\  1o  C_  A )  ->  ( ( A  e. 
N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta )
)
11821, 117mpanl2 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  1o  C_  A )  -> 
( ( A  e. 
N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta )
)
11911, 20, 118syl2anc 642 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( A  e.  N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta ) )
120119exp3a 425 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  ->  ( 1o  <N  A  ->  ta ) ) )
121120pm2.43i 43 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( 1o  <N  A  ->  ta ) )
122 nlt1pi 8530 . . . 4  |-  -.  A  <N  1o
123 ltsopi 8512 . . . . . 6  |-  <N  Or  N.
124 sotric 4340 . . . . . 6  |-  ( ( 
<N  Or  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. ) )  -> 
( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
125123, 124mpan 651 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
1261, 125mpan2 652 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
127122, 126mtbii 293 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) )
128 notnot2 104 . . 3  |-  ( -. 
-.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A )  ->  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) )
129127, 128syl 15 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) )
13010, 121, 129mpjaod 370 1  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    Or wor 4313   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    +o coa 6476   N.cnpi 8466    +N cpli 8467    <N clti 8469
This theorem is referenced by:  prlem934  8657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-ni 8496  df-pli 8497  df-lti 8499
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