MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr Structured version   Unicode version

Theorem indstr 10545
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr.2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
indstr  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem indstr
StepHypRef Expression
1 pm3.24 853 . . . . . 6  |-  -.  ( ph  /\  -.  ph )
2 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
3 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
4 lenlt 9154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
52, 3, 4syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
65imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -.  ps  ->  x  <_  y )  <->  ( -.  ps  ->  -.  y  <  x ) ) )
7 con34b 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  <  x  ->  ps )  <->  ( -.  ps  ->  -.  y  <  x
) )
86, 7syl6bbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -.  ps  ->  x  <_  y )  <->  ( y  <  x  ->  ps ) ) )
98ralbidva 2721 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
) )
10 indstr.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
119, 10sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y )  ->  ph ) )
1211anim2d 549 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) )  ->  ( -.  ph  /\  ph )
) )
13 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ph  /\  ph )  <->  (
ph  /\  -.  ph )
)
1412, 13syl6ib 218 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) )  ->  ( ph  /\  -.  ph )
) )
151, 14mtoi 171 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  -.  ( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) ) )
1615nrex 2808 . . . 4  |-  -.  E. x  e.  NN  ( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y )
)
17 indstr.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1817notbid 286 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
1918nnwos 10544 . . . 4  |-  ( E. x  e.  NN  -.  ph 
->  E. x  e.  NN  ( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) ) )
2016, 19mto 169 . . 3  |-  -.  E. x  e.  NN  -.  ph
21 dfral2 2717 . . 3  |-  ( A. x  e.  NN  ph  <->  -.  E. x  e.  NN  -.  ph )
2220, 21mpbir 201 . 2  |-  A. x  e.  NN  ph
2322rspec 2770 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  indstr2  10554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator