MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr Unicode version

Theorem indstr 10287
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr.2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
indstr  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem indstr
StepHypRef Expression
1 pm3.24 852 . . . . . 6  |-  -.  ( ph  /\  -.  ph )
2 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
3 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
4 lenlt 8901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
52, 3, 4syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
65imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -.  ps  ->  x  <_  y )  <->  ( -.  ps  ->  -.  y  <  x ) ) )
7 con34b 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  <  x  ->  ps )  <->  ( -.  ps  ->  -.  y  <  x
) )
86, 7syl6bbr 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -.  ps  ->  x  <_  y )  <->  ( y  <  x  ->  ps ) ) )
98ralbidva 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
) )
10 indstr.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
119, 10sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y )  ->  ph ) )
1211anim2d 548 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) )  ->  ( -.  ph  /\  ph )
) )
13 ancom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ph  /\  ph )  <->  (
ph  /\  -.  ph )
)
1412, 13syl6ib 217 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) )  ->  ( ph  /\  -.  ph )
) )
151, 14mtoi 169 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  -.  ( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) ) )
1615nrex 2645 . . . 4  |-  -.  E. x  e.  NN  ( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y )
)
17 indstr.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1817notbid 285 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
1918nnwos 10286 . . . 4  |-  ( E. x  e.  NN  -.  ph 
->  E. x  e.  NN  ( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) ) )
2016, 19mto 167 . . 3  |-  -.  E. x  e.  NN  -.  ph
21 dfral2 2555 . . 3  |-  ( A. x  e.  NN  ph  <->  -.  E. x  e.  NN  -.  ph )
2220, 21mpbir 200 . 2  |-  A. x  e.  NN  ph
2322rspec 2607 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  indstr2  10296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator