Theorem indstr 6461

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema).

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	|- (x = y -> (ph <-> ps))
indstr.2	|- (x e. NN -> (A.y e. NN (y < x -> ps) -> ph))

Assertion

Ref	Expression
indstr	|- (x e. NN -> ph)

Distinct variable groups:   x,y   ph,y   ps,x

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 658	. . . . . 6 |- -. (ph /\ -. ph)
2		lenltt 5510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x <_ y <-> -. y < x))
3		nnret 5929	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> x e. RR)
4		nnret 5929	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> y e. RR)
5	2, 3, 4	syl2an 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> (x <_ y <-> -. y < x))
6	5	imbi2d 612	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((-. ps -> x <_ y) <-> (-. ps -> -. y < x)))
7		pm4.1 164	. . . . . . . . . . 11 |- ((y < x -> ps) <-> (-. ps -> -. y < x))
8	6, 7	syl6bbr 538	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((-. ps -> x <_ y) <-> (y < x -> ps)))
9	8	ralbidva 1659	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (A.y e. NN (-. ps -> x <_ y) <-> A.y e. NN (y < x -> ps)))
10		indstr.2	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (A.y e. NN (y < x -> ps) -> ph))
11	9, 10	sylbid 203	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (A.y e. NN (-. ps -> x <_ y) -> ph))
12	11	anim2d 561	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> ((-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)) -> (-. ph /\ ph)))
13		ancom 435	. . . . . . 7 |- ((-. ph /\ ph) <-> (ph /\ -. ph))
14	12, 13	syl6ib 212	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ((-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)) -> (ph /\ -. ph)))
15	1, 14	mtoi 107	. . . . 5 |- (x e. NN -> -. (-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)))
16	15	nrex 1729	. . . 4 |- -. E.x e. NN (-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y))
17		indstr.1	. . . . . 6 |- (x = y -> (ph <-> ps))
18	17	negbid 611	. . . . 5 |- (x = y -> (-. ph <-> -. ps))
19	18	nnwos 6460	. . . 4 |- (E.x e. NN -. ph -> E.x e. NN (-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)))
20	16, 19	mto 106	. . 3 |- -. E.x e. NN -. ph
21		dfral2 1655	. . 3 |- (A.x e. NN ph <-> -. E.x e. NN -. ph)
22	20, 21	mpbir 190	. 2 |- A.x e. NN ph
23	22	rspec 1697	1 |- (x e. NN -> ph)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  RRcr 5233   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem3 6726

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-uz 6418

Copyright terms: Public domain