MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr2 Structured version   Unicode version

Theorem indstr2 10556
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr2.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indstr2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr2.3  |-  ch
indstr2.4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
indstr2  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( x, y)

Proof of Theorem indstr2
StepHypRef Expression
1 indstr2.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2 elnn1uz2 10554 . . 3  |-  ( x  e.  NN  <->  ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3 indstr2.3 . . . . 5  |-  ch
4 nnnlt1 10032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
54adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  1 )
6 breq2 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
y  <  x  <->  y  <  1 ) )
76adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <  1
) )
85, 7mtbird 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  x )
98pm2.21d 101 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  < 
x  ->  ps )
)
109ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
)
11 pm5.5 328 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ( ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ph ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ph ) )
13 indstr2.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1412, 13bitrd 246 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ch )
)
153, 14mpbiri 226 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
16 indstr2.4 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ph ) )
1715, 16jaoi 370 . . 3  |-  ( ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph ) )
182, 17sylbi 189 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
191, 18indstr 10547 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   1c1 8993    < clt 9122   NNcn 10002   2c2 10051   ZZ>=cuz 10490
This theorem is referenced by:  nn0prpwlem  26327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491
  Copyright terms: Public domain W3C validator