MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Unicode version

Theorem ine0 9215
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 8806 . . . 4  |-  1  =/=  0
2 df-ne 2448 . . . 4  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
31, 2mpbi 199 . . 3  |-  -.  1  =  0
4 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 8796 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
65mul01i 9002 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6req 2332 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
87oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
9 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
109addid2i 9000 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
11 ax-i2m1 8805 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
128, 10, 113eqtr3g 2338 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
133, 12mto 167 . 2  |-  -.  _i  =  0
14 df-ne 2448 . 2  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
1513, 14mpbir 200 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742
This theorem is referenced by:  inelr  9736  irec  11202  iexpcyc  11207  imre  11593  reim  11594  crim  11600  cjreb  11608  imval2  11636  cnpart  11725  sinf  12404  tanval2  12413  tanval3  12414  sinneg  12426  efival  12432  sinhval  12434  retanhcl  12439  tanhlt1  12440  tanhbnd  12441  sinadd  12444  itgz  19135  ibl0  19141  iblcnlem1  19142  itgcnlem  19144  iblss  19159  iblss2  19160  itgss  19166  itgeqa  19168  iblconst  19172  iblabsr  19184  iblmulc2  19185  itgsplit  19190  dvmptim  19319  dvsincos  19328  sincn  19820  sineq0  19889  efeq1  19891  tanregt0  19901  efif1olem4  19907  eflogeq  19955  cxpsqrlem  20049  root1eq1  20095  ang180lem1  20107  ang180lem2  20108  ang180lem3  20109  atandm2  20173  sinasin  20185  2efiatan  20214  tanatan  20215  atantan  20219  dvatan  20231  atantayl2  20234  log2cnv  20240  proot1ex  27520  sinh-conventional  28209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator