MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Structured version   Unicode version

Theorem ine0 9461
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9051 . . . 4  |-  1  =/=  0
2 df-ne 2600 . . . 4  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
31, 2mpbi 200 . . 3  |-  -.  1  =  0
4 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 9041 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
65mul01i 9248 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6req 2484 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
87oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
9 ax-1cn 9040 . . . . 5  |-  1  e.  CC
109addid2i 9246 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
11 ax-i2m1 9050 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
128, 10, 113eqtr3g 2490 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
133, 12mto 169 . 2  |-  -.  _i  =  0
14 df-ne 2600 . 2  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
1513, 14mpbir 201 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    =/= wne 2598  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987
This theorem is referenced by:  inelr  9982  irec  11472  iexpcyc  11477  imre  11905  reim  11906  crim  11912  cjreb  11920  imval2  11948  cnpart  12037  sinf  12717  tanval2  12726  tanval3  12727  sinneg  12739  efival  12745  sinhval  12747  retanhcl  12752  tanhlt1  12753  tanhbnd  12754  sinadd  12757  itgz  19664  ibl0  19670  iblcnlem1  19671  itgcnlem  19673  iblss  19688  iblss2  19689  itgss  19695  itgeqa  19697  iblconst  19701  iblabsr  19713  iblmulc2  19714  itgsplit  19719  dvmptim  19848  dvsincos  19857  sincn  20352  sineq0  20421  efeq1  20423  tanregt0  20433  efif1olem4  20439  eflogeq  20488  cxpsqrlem  20585  root1eq1  20631  ang180lem1  20643  ang180lem2  20644  ang180lem3  20645  atandm2  20709  sinasin  20721  2efiatan  20750  tanatan  20751  atantan  20755  dvatan  20767  atantayl2  20770  log2cnv  20776  iblmulc2nc  26260  ftc1anclem6  26275  proot1ex  27488  sinh-conventional  28419  sineq0ALT  28986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117
  Copyright terms: Public domain W3C validator