MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Unicode version

Theorem ine0 9402
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 8993 . . . 4  |-  1  =/=  0
2 df-ne 2553 . . . 4  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
31, 2mpbi 200 . . 3  |-  -.  1  =  0
4 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 8983 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
65mul01i 9189 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6req 2437 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
87oveq1d 6036 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
9 ax-1cn 8982 . . . . 5  |-  1  e.  CC
109addid2i 9187 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
11 ax-i2m1 8992 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
128, 10, 113eqtr3g 2443 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
133, 12mto 169 . 2  |-  -.  _i  =  0
14 df-ne 2553 . 2  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
1513, 14mpbir 201 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    =/= wne 2551  (class class class)co 6021   0cc0 8924   1c1 8925   _ici 8926    + caddc 8927    x. cmul 8929
This theorem is referenced by:  inelr  9923  irec  11408  iexpcyc  11413  imre  11841  reim  11842  crim  11848  cjreb  11856  imval2  11884  cnpart  11973  sinf  12653  tanval2  12662  tanval3  12663  sinneg  12675  efival  12681  sinhval  12683  retanhcl  12688  tanhlt1  12689  tanhbnd  12690  sinadd  12693  itgz  19540  ibl0  19546  iblcnlem1  19547  itgcnlem  19549  iblss  19564  iblss2  19565  itgss  19571  itgeqa  19573  iblconst  19577  iblabsr  19589  iblmulc2  19590  itgsplit  19595  dvmptim  19724  dvsincos  19733  sincn  20228  sineq0  20297  efeq1  20299  tanregt0  20309  efif1olem4  20315  eflogeq  20364  cxpsqrlem  20461  root1eq1  20507  ang180lem1  20519  ang180lem2  20520  ang180lem3  20521  atandm2  20585  sinasin  20597  2efiatan  20626  tanatan  20627  atantan  20631  dvatan  20643  atantayl2  20646  log2cnv  20652  iblmulc2nc  25971  proot1ex  27190  sinh-conventional  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059
  Copyright terms: Public domain W3C validator