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Theorem inf0 7322
Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) " exists, is a subset of its union, and contains a given set  x (and thus is non-empty). Thus it provides an example demonstrating that a set  y exists with the necessary properties demanded by ax-inf 7339. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Hypothesis
Ref Expression
inf0.1  |-  om  e.  _V
Assertion
Ref Expression
inf0  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem inf0
Dummy variables  v 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 fr0g 6448 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  (/) )  =  x )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  =  x
4 frfnom 6447 . . . 4  |-  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  Fn  om
5 peano1 4675 . . . 4  |-  (/)  e.  om
6 fnfvelrn 5662 . . . 4  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  Fn 
om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
74, 5, 6mp2an 653 . . 3  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  (/) )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
83, 7eqeltrri 2354 . 2  |-  x  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
9 fvelrnb 5570 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  <->  E. f  e.  om  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f )  =  z ) )
104, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  <->  E. f  e.  om  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z )
11 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  _V
1211sucid 4471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  suc  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )
1311sucex 4602 . . . . . . . . . 10  |-  suc  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  _V
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  =  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )
15 suceq 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  v  ->  suc  z  =  suc  v )
16 suceq 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f )  ->  suc  z  =  suc  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
) )
1714, 15, 16frsucmpt2 6452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  om  /\  suc  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  _V )  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  =  suc  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  f ) )
1813, 17mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  =  suc  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f ) )
1912, 18syl5eleqr 2370 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) )
20 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  f
)  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  <->  z  e.  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) ) )
2119, 20syl5ib 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f ) ) )
22 peano2b 4672 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  om  <->  suc  f  e. 
om )
23 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  Fn 
om  /\  suc  f  e. 
om )  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
244, 23mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  f  e.  om  ->  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
2522, 24sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  om  ->  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )
2625a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
2721, 26jcad 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  ( f  e. 
om  ->  ( z  e.  ( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) )
28 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e.  _V
29 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( z  e.  w  <->  z  e.  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f ) ) )
30 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  <->  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3129, 30anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  -> 
( ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) )  <-> 
( z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) )
3228, 31spcev 2875 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) `  suc  f )  /\  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  suc  f )  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3327, 32syl6com 31 . . . . 5  |-  ( f  e.  om  ->  (
( ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
3433rexlimiv 2661 . . . 4  |-  ( E. f  e.  om  (
( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) `  f )  =  z  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3510, 34sylbi 187 . . 3  |-  ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) )
3635ax-gen 1533 . 2  |-  A. z
( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) )
37 fndm 5343 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  dom  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  =  om )
384, 37ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  =  om
39 inf0.1 . . . . 5  |-  om  e.  _V
4038, 39eqeltri 2353 . . . 4  |-  dom  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  e.  _V
41 fnfun 5341 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  Fn  om  ->  Fun  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) )
424, 41ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
43 funrnex 5747 . . . 4  |-  ( dom  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  e. 
_V  ->  ( Fun  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  e. 
_V ) )
4440, 42, 43mp2 17 . . 3  |-  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  e.  _V
45 eleq2 2344 . . . 4  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( x  e.  y  <-> 
x  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
46 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( z  e.  y  <-> 
z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
47 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( w  e.  y  <-> 
w  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )
) )
4847anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
4948exbidv 1612 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  <->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )
5046, 49imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( z  e.  y  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) )  <->  ( z  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) ) )
5150albidv 1611 . . . 4  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) )  <->  A. z
( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  ->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om ) ) ) ) )
5245, 51anbi12d 691 . . 3  |-  ( y  =  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  ( ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )  <-> 
( x  e.  ran  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  suc  v
) ,  x )  |`  om )  /\  A. z ( z  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e. 
ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) ) ) )
5344, 52spcev 2875 . 2  |-  ( ( x  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  /\  A. z ( z  e.  ran  ( rec ( ( v  e. 
_V  |->  suc  v ) ,  x )  |`  om )  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ran  ( rec (
( v  e.  _V  |->  suc  v ) ,  x
)  |`  om ) ) ) )  ->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) ) )
548, 36, 53mp2an 653 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   (/)c0 3455    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   reccrdg 6422
This theorem is referenced by:  axinf  7345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
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