MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem2 Unicode version

Theorem inf3lem2 7330
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7336 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
inf3lem.2  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
inf3lem.3  |-  A  e. 
_V
inf3lem.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
inf3lem2  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( A  e.  om  ->  ( F `  A
)  =/=  x ) )
Distinct variable group:    x, y, w
Allowed substitution hints:    A( x, y, w)    B( x, y, w)    F( x, y, w)    G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lem2
Dummy variables  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( v  =  (/)  ->  ( F `
 v )  =  ( F `  (/) ) )
21neeq1d 2459 . . . 4  |-  ( v  =  (/)  ->  ( ( F `  v )  =/=  x  <->  ( F `  (/) )  =/=  x
) )
32imbi2d 307 . . 3  |-  ( v  =  (/)  ->  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  v
)  =/=  x )  <-> 
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  (/) )  =/=  x
) ) )
4 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( v  =  u  ->  ( F `  v )  =  ( F `  u ) )
54neeq1d 2459 . . . 4  |-  ( v  =  u  ->  (
( F `  v
)  =/=  x  <->  ( F `  u )  =/=  x
) )
65imbi2d 307 . . 3  |-  ( v  =  u  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  v )  =/=  x
)  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x )  ->  ( F `  u )  =/=  x ) ) )
7 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( v  =  suc  u  -> 
( F `  v
)  =  ( F `
 suc  u )
)
87neeq1d 2459 . . . 4  |-  ( v  =  suc  u  -> 
( ( F `  v )  =/=  x  <->  ( F `  suc  u
)  =/=  x ) )
98imbi2d 307 . . 3  |-  ( v  =  suc  u  -> 
( ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x )  ->  ( F `  v )  =/=  x )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
10 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )
1110neeq1d 2459 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  (
( F `  v
)  =/=  x  <->  ( F `  A )  =/=  x
) )
1211imbi2d 307 . . 3  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  v )  =/=  x
)  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x )  ->  ( F `  A )  =/=  x ) ) )
13 inf3lem.1 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
14 inf3lem.2 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
15 inf3lem.3 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
16 inf3lem.4 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
1713, 14, 15, 16inf3lemb 7326 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
1817eqeq1i 2290 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  (/) )  =  x  <->  (/)  =  x )
19 eqcom 2285 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =  x  <->  x  =  (/) )
2018, 19bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( F `  (/) )  =  x  <->  x  =  (/) )
2120biimpi 186 . . . . 5  |-  ( ( F `  (/) )  =  x  ->  x  =  (/) )
2221necon3i 2485 . . . 4  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( F `  (/) )  =/=  x
)
2322adantr 451 . . 3  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  (/) )  =/=  x )
24 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
2513, 14, 24, 16inf3lemd 7328 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  om  ->  ( F `  u )  C_  x )
26 df-pss 3168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) 
C.  x  <->  ( ( F `  u )  C_  x  /\  ( F `
 u )  =/=  x ) )
27 pssnel 3519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) 
C.  x  ->  E. v
( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u ) ) )
2826, 27sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  u
)  C_  x  /\  ( F `  u )  =/=  x )  ->  E. v ( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u
) ) )
29 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  U. x  ->  (
v  e.  x  -> 
v  e.  U. x
) )
30 eluni 3830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  U. x  <->  E. f
( v  e.  f  /\  f  e.  x
) )
3129, 30syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  U. x  ->  (
v  e.  x  ->  E. f ( v  e.  f  /\  f  e.  x ) ) )
32 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  suc  u
)  =  x  -> 
( f  e.  ( F `  suc  u
)  <->  f  e.  x
) )
3332biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  x  /\  ( F `  suc  u
)  =  x )  ->  f  e.  ( F `  suc  u
) )
3413, 14, 24, 16inf3lemc 7327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  om  ->  ( F `  suc  u )  =  ( G `  ( F `  u ) ) )
3534eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  om  ->  (
f  e.  ( F `
 suc  u )  <->  f  e.  ( G `  ( F `  u ) ) ) )
36 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  ( f  i^i  x )  <->  ( v  e.  f  /\  v  e.  x ) )
37 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  f  e. 
_V
38 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F `
 u )  e. 
_V
3913, 14, 37, 38inf3lema 7325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  <->  ( f  e.  x  /\  ( f  i^i  x )  C_  ( F `  u ) ) )
4039simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  ->  ( f  i^i  x )  C_  ( F `  u )
)
4140sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  ->  ( v  e.  ( f  i^i  x
)  ->  v  e.  ( F `  u ) ) )
4236, 41syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  ->  ( (
v  e.  f  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  ( F `
 u ) ) )
4335, 42syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  om  ->  (
f  e.  ( F `
 suc  u )  ->  ( ( v  e.  f  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  ( F `  u
) ) ) )
4433, 43syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  om  ->  (
( f  e.  x  /\  ( F `  suc  u )  =  x )  ->  ( (
v  e.  f  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  ( F `
 u ) ) ) )
4544com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  om  ->  (
( v  e.  f  /\  v  e.  x
)  ->  ( (
f  e.  x  /\  ( F `  suc  u
)  =  x )  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) )
4645exp5c 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  om  ->  (
v  e.  f  -> 
( v  e.  x  ->  ( f  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) ) ) )
4746com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  om  ->  (
v  e.  f  -> 
( f  e.  x  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) ) ) )
4847imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  om  ->  (
( v  e.  f  /\  f  e.  x
)  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u
)  =  x  -> 
v  e.  ( F `
 u ) ) ) ) )
4948exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  om  ->  ( E. f ( v  e.  f  /\  f  e.  x )  ->  (
v  e.  x  -> 
( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) ) )
5031, 49sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( v  e.  x  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u
)  =  x  -> 
v  e.  ( F `
 u ) ) ) ) )
5150pm2.43d 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u
) ) ) )
52 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) )  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u
) ) )
5352necon3bd 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) )  ->  ( -.  v  e.  ( F `  u )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5451, 53syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( v  e.  x  ->  ( -.  v  e.  ( F `  u )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) ) )
5554imp3a 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u ) )  -> 
( F `  suc  u )  =/=  x
) )
5655exlimdv 1664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( E. v
( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u ) )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5728, 56syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( ( ( F `  u ) 
C_  x  /\  ( F `  u )  =/=  x )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5825, 57sylani 635 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( ( u  e.  om  /\  ( F `  u )  =/=  x )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5958exp4b 590 . . . . . 6  |-  ( u  e.  om  ->  (
x  C_  U. x  ->  ( u  e.  om  ->  ( ( F `  u )  =/=  x  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x
) ) ) )
6059pm2.43a 45 . . . . 5  |-  ( u  e.  om  ->  (
x  C_  U. x  ->  ( ( F `  u )  =/=  x  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
6160adantld 453 . . . 4  |-  ( u  e.  om  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( ( F `  u )  =/=  x  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
6261a2d 23 . . 3  |-  ( u  e.  om  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  u )  =/=  x
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
633, 6, 9, 12, 23, 62finds 4682 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  A
)  =/=  x ) )
6463com12 27 1  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( A  e.  om  ->  ( F `  A
)  =/=  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656    |` cres 4691   ` cfv 5255   reccrdg 6422
This theorem is referenced by:  inf3lem3  7331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
  Copyright terms: Public domain W3C validator