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Theorem inf3lem2 7548
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7554 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
inf3lem.2  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
inf3lem.3  |-  A  e. 
_V
inf3lem.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
inf3lem2  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( A  e.  om  ->  ( F `  A
)  =/=  x ) )
Distinct variable group:    x, y, w
Allowed substitution hints:    A( x, y, w)    B( x, y, w)    F( x, y, w)    G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lem2
Dummy variables  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5695 . . . . 5  |-  ( v  =  (/)  ->  ( F `
 v )  =  ( F `  (/) ) )
21neeq1d 2588 . . . 4  |-  ( v  =  (/)  ->  ( ( F `  v )  =/=  x  <->  ( F `  (/) )  =/=  x
) )
32imbi2d 308 . . 3  |-  ( v  =  (/)  ->  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  v
)  =/=  x )  <-> 
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  (/) )  =/=  x
) ) )
4 fveq2 5695 . . . . 5  |-  ( v  =  u  ->  ( F `  v )  =  ( F `  u ) )
54neeq1d 2588 . . . 4  |-  ( v  =  u  ->  (
( F `  v
)  =/=  x  <->  ( F `  u )  =/=  x
) )
65imbi2d 308 . . 3  |-  ( v  =  u  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  v )  =/=  x
)  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x )  ->  ( F `  u )  =/=  x ) ) )
7 fveq2 5695 . . . . 5  |-  ( v  =  suc  u  -> 
( F `  v
)  =  ( F `
 suc  u )
)
87neeq1d 2588 . . . 4  |-  ( v  =  suc  u  -> 
( ( F `  v )  =/=  x  <->  ( F `  suc  u
)  =/=  x ) )
98imbi2d 308 . . 3  |-  ( v  =  suc  u  -> 
( ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x )  ->  ( F `  v )  =/=  x )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
10 fveq2 5695 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )
1110neeq1d 2588 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  (
( F `  v
)  =/=  x  <->  ( F `  A )  =/=  x
) )
1211imbi2d 308 . . 3  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  v )  =/=  x
)  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x )  ->  ( F `  A )  =/=  x ) ) )
13 inf3lem.1 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
14 inf3lem.2 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
15 inf3lem.3 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
16 inf3lem.4 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
1713, 14, 15, 16inf3lemb 7544 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
1817eqeq1i 2419 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  (/) )  =  x  <->  (/)  =  x )
19 eqcom 2414 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =  x  <->  x  =  (/) )
2018, 19bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ( F `  (/) )  =  x  <->  x  =  (/) )
2120biimpi 187 . . . . 5  |-  ( ( F `  (/) )  =  x  ->  x  =  (/) )
2221necon3i 2614 . . . 4  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( F `  (/) )  =/=  x
)
2322adantr 452 . . 3  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  (/) )  =/=  x )
24 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
2513, 14, 24, 16inf3lemd 7546 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  om  ->  ( F `  u )  C_  x )
26 df-pss 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) 
C.  x  <->  ( ( F `  u )  C_  x  /\  ( F `
 u )  =/=  x ) )
27 pssnel 3661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) 
C.  x  ->  E. v
( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u ) ) )
2826, 27sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  u
)  C_  x  /\  ( F `  u )  =/=  x )  ->  E. v ( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u
) ) )
29 ssel 3310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  U. x  ->  (
v  e.  x  -> 
v  e.  U. x
) )
30 eluni 3986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  U. x  <->  E. f
( v  e.  f  /\  f  e.  x
) )
3129, 30syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  U. x  ->  (
v  e.  x  ->  E. f ( v  e.  f  /\  f  e.  x ) ) )
32 eleq2 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  suc  u
)  =  x  -> 
( f  e.  ( F `  suc  u
)  <->  f  e.  x
) )
3332biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  x  /\  ( F `  suc  u
)  =  x )  ->  f  e.  ( F `  suc  u
) )
3413, 14, 24, 16inf3lemc 7545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  om  ->  ( F `  suc  u )  =  ( G `  ( F `  u ) ) )
3534eleq2d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  om  ->  (
f  e.  ( F `
 suc  u )  <->  f  e.  ( G `  ( F `  u ) ) ) )
36 elin 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  ( f  i^i  x )  <->  ( v  e.  f  /\  v  e.  x ) )
37 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  f  e. 
_V
38 fvex 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F `
 u )  e. 
_V
3913, 14, 37, 38inf3lema 7543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  <->  ( f  e.  x  /\  ( f  i^i  x )  C_  ( F `  u ) ) )
4039simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  ->  ( f  i^i  x )  C_  ( F `  u )
)
4140sseld 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  ->  ( v  e.  ( f  i^i  x
)  ->  v  e.  ( F `  u ) ) )
4236, 41syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  ( G `  ( F `  u ) )  ->  ( (
v  e.  f  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  ( F `
 u ) ) )
4335, 42syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  om  ->  (
f  e.  ( F `
 suc  u )  ->  ( ( v  e.  f  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  ( F `  u
) ) ) )
4433, 43syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  om  ->  (
( f  e.  x  /\  ( F `  suc  u )  =  x )  ->  ( (
v  e.  f  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  ( F `
 u ) ) ) )
4544com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  om  ->  (
( v  e.  f  /\  v  e.  x
)  ->  ( (
f  e.  x  /\  ( F `  suc  u
)  =  x )  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) )
4645exp5c 600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  om  ->  (
v  e.  f  -> 
( v  e.  x  ->  ( f  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) ) ) )
4746com34 79 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  om  ->  (
v  e.  f  -> 
( f  e.  x  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) ) ) )
4847imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  om  ->  (
( v  e.  f  /\  f  e.  x
)  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u
)  =  x  -> 
v  e.  ( F `
 u ) ) ) ) )
4948exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  om  ->  ( E. f ( v  e.  f  /\  f  e.  x )  ->  (
v  e.  x  -> 
( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) ) ) ) )
5031, 49sylan9r 640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( v  e.  x  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u
)  =  x  -> 
v  e.  ( F `
 u ) ) ) ) )
5150pm2.43d 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( v  e.  x  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u
) ) ) )
52 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) )  ->  ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u
) ) )
5352necon3bd 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  suc  u )  =  x  ->  v  e.  ( F `  u ) )  ->  ( -.  v  e.  ( F `  u )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5451, 53syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( v  e.  x  ->  ( -.  v  e.  ( F `  u )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) ) )
5554imp3a 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u ) )  -> 
( F `  suc  u )  =/=  x
) )
5655exlimdv 1643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( E. v
( v  e.  x  /\  -.  v  e.  ( F `  u ) )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5728, 56syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( ( ( F `  u ) 
C_  x  /\  ( F `  u )  =/=  x )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5825, 57sylani 636 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  om  /\  x  C_  U. x )  ->  ( ( u  e.  om  /\  ( F `  u )  =/=  x )  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x ) )
5958exp4b 591 . . . . . 6  |-  ( u  e.  om  ->  (
x  C_  U. x  ->  ( u  e.  om  ->  ( ( F `  u )  =/=  x  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x
) ) ) )
6059pm2.43a 47 . . . . 5  |-  ( u  e.  om  ->  (
x  C_  U. x  ->  ( ( F `  u )  =/=  x  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
6160adantld 454 . . . 4  |-  ( u  e.  om  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( ( F `  u )  =/=  x  ->  ( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
6261a2d 24 . . 3  |-  ( u  e.  om  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_  U. x
)  ->  ( F `  u )  =/=  x
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  suc  u )  =/=  x
) ) )
633, 6, 9, 12, 23, 62finds 4838 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( F `  A
)  =/=  x ) )
6463com12 29 1  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  -> 
( A  e.  om  ->  ( F `  A
)  =/=  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   {crab 2678   _Vcvv 2924    i^i cin 3287    C_ wss 3288    C. wpss 3289   (/)c0 3596   U.cuni 3983    e. cmpt 4234   suc csuc 4551   omcom 4812    |` cres 4847   ` cfv 5421   reccrdg 6634
This theorem is referenced by:  inf3lem3  7549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-recs 6600  df-rdg 6635
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