Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem3 Structured version   Unicode version

Theorem inf3lem3 7585
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7590 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 7563. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4
Assertion
Ref Expression
inf3lem3
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem inf3lem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . . 5
2 inf3lem.2 . . . . 5
3 inf3lem.3 . . . . 5
4 inf3lem.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4inf3lemd 7582 . . . 4
61, 2, 3, 4inf3lem2 7584 . . . . 5
76com12 29 . . . 4
8 pssdifn0 3689 . . . 4
95, 7, 8ee12an 1372 . . 3
10 vex 2959 . . . . . 6
11 difss 3474 . . . . . 6
1210, 11ssexi 4348 . . . . 5
1312zfreg 7563 . . . 4
14 eldifi 3469 . . . . . . . . . . 11
15 inssdif0 3695 . . . . . . . . . . . 12
1615biimpri 198 . . . . . . . . . . 11
1714, 16anim12i 550 . . . . . . . . . 10
18 vex 2959 . . . . . . . . . . 11
19 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11
201, 2, 18, 19inf3lema 7579 . . . . . . . . . 10
2117, 20sylibr 204 . . . . . . . . 9
221, 2, 3, 4inf3lemc 7581 . . . . . . . . . 10
2322eleq2d 2503 . . . . . . . . 9
2421, 23syl5ibr 213 . . . . . . . 8
25 eldifn 3470 . . . . . . . . . 10
2625adantr 452 . . . . . . . . 9
2726a1i 11 . . . . . . . 8
2824, 27jcad 520 . . . . . . 7
29 eleq2 2497 . . . . . . . . . 10
3029biimprd 215 . . . . . . . . 9
31 iman 414 . . . . . . . . 9
3230, 31sylib 189 . . . . . . . 8
3332necon2ai 2649 . . . . . . 7
3428, 33syl6 31 . . . . . 6
3534exp3a 426 . . . . 5
3635rexlimdv 2829 . . . 4
3713, 36syl5 30 . . 3
389, 37syld 42 . 2
3938com12 29 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cuni 4015   cmpt 4266   csuc 4583  com 4845   cres 4880  cfv 5454  crdg 6667 This theorem is referenced by:  inf3lem4  7586 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668
 Copyright terms: Public domain W3C validator