Theorem inf3lem4 4616

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 4620 for detailed description.

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	|- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
inf3lem.2	|- F = (rec(G, (/)) |` om)
inf3lem.3	|- A e. V
inf3lem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem4	|- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> (F` A) (. (F` suc A)))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem inf3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . . 5 |- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
2		inf3lem.2	. . . . 5 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
3		inf3lem.3	. . . . 5 |- A e. V
4		inf3lem.4	. . . . 5 |- B e. V
5	1, 2, 3, 4	inf3lem1 4613	. . . 4 |- (A e. om -> (F` A) (_ (F` suc A))
6	5	a1i 8	. . 3 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> (F` A) (_ (F` suc A)))
7	1, 2, 3, 4	inf3lem3 4615	. . 3 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> (F` A) =/= (F` suc A)))
8	6, 7	jcad 600	. 2 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> ((F` A) (_ (F` suc A) /\ (F` A) =/= (F` suc A))))
9		df-pss 2055	. 2 |- ((F` A) (. (F` suc A) <-> ((F` A) (_ (F` suc A) /\ (F` A) =/= (F` suc A)))
10	8, 9	syl6ibr 213	1 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (A e. om -> (F` A) (. (F` suc A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  {crab 1648  Vcvv 1811   i^i cin 2046   (_ wss 2047   (. wpss 2048  (/)c0 2280  U.cuni 2503  {copab 2666  suc csuc 2950  omcom 3131   |` cres 3172  ` cfv 3182  reccrdg 3931

This theorem is referenced by:  inf3lem5 4617

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain