Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem6 Unicode version

Theorem inf3lem6 7334
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7336 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4
Assertion
Ref Expression
inf3lem6
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem inf3lem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . . . . . . . . 11
2 inf3lem.2 . . . . . . . . . . 11
3 vex 2791 . . . . . . . . . . 11
4 vex 2791 . . . . . . . . . . 11
51, 2, 3, 4inf3lem5 7333 . . . . . . . . . 10
6 dfpss2 3261 . . . . . . . . . . 11
76simprbi 450 . . . . . . . . . 10
85, 7syl6 29 . . . . . . . . 9
98expdimp 426 . . . . . . . 8
109adantrl 696 . . . . . . 7
111, 2, 4, 3inf3lem5 7333 . . . . . . . . . 10
12 dfpss2 3261 . . . . . . . . . . . 12
1312simprbi 450 . . . . . . . . . . 11
14 eqcom 2285 . . . . . . . . . . 11
1513, 14sylnib 295 . . . . . . . . . 10
1611, 15syl6 29 . . . . . . . . 9
1716expdimp 426 . . . . . . . 8
1817adantrr 697 . . . . . . 7
1910, 18jaod 369 . . . . . 6
2019con2d 107 . . . . 5
21 nnord 4664 . . . . . . 7
22 nnord 4664 . . . . . . 7
23 ordtri3 4428 . . . . . . 7
2421, 22, 23syl2an 463 . . . . . 6
2524adantl 452 . . . . 5
2620, 25sylibrd 225 . . . 4
2726ralrimivva 2635 . . 3
28 frfnom 6447 . . . . . 6
29 fneq1 5333 . . . . . 6
3028, 29mpbiri 224 . . . . 5
31 fvelrnb 5570 . . . . . . . 8
32 inf3lem.4 . . . . . . . . . . . 12
331, 2, 4, 32inf3lemd 7328 . . . . . . . . . . 11
34 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12
3534elpw 3631 . . . . . . . . . . 11
3633, 35sylibr 203 . . . . . . . . . 10
37 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10
3836, 37syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9
3938rexlimiv 2661 . . . . . . . 8
4031, 39syl6bi 219 . . . . . . 7
4140ssrdv 3185 . . . . . 6
4241ancli 534 . . . . 5
432, 30, 42mp2b 9 . . . 4
44 df-f 5259 . . . 4
4543, 44mpbir 200 . . 3
4627, 45jctil 523 . 2
47 dff13 5783 . 2
4846, 47sylibr 203 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  crab 2547  cvv 2788   cin 3151   wss 3152   wpss 3153  c0 3455  cpw 3625  cuni 3827   cmpt 4077   word 4391  com 4656   crn 4690   cres 4691   wfn 5250  wf 5251  wf1 5252  cfv 5255  crdg 6422 This theorem is referenced by:  inf3lem7  7335  dominf  8071  dominfac  8195 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
 Copyright terms: Public domain W3C validator