MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem7 Unicode version

Theorem inf3lem7 7335
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7336 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Replacement in the form of f1dmex 5751. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
inf3lem.2  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
inf3lem.3  |-  A  e. 
_V
inf3lem.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
inf3lem7  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  ->  om  e.  _V )
Distinct variable group:    x, y, w
Allowed substitution hints:    A( x, y, w)    B( x, y, w)    F( x, y, w)    G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lem7
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . 3  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
2 inf3lem.2 . . 3  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
3 inf3lem.3 . . 3  |-  A  e. 
_V
4 inf3lem.4 . . 3  |-  B  e. 
_V
51, 2, 3, 4inf3lem6 7334 . 2  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  ->  F : om -1-1-> ~P x
)
6 vex 2791 . . 3  |-  x  e. 
_V
76pwex 4193 . 2  |-  ~P x  e.  _V
8 f1dmex 5751 . 2  |-  ( ( F : om -1-1-> ~P x  /\  ~P x  e. 
_V )  ->  om  e.  _V )
95, 7, 8sylancl 643 1  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )  ->  om  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   omcom 4656    |` cres 4691   -1-1->wf1 5252   reccrdg 6422
This theorem is referenced by:  inf3  7336  infeq5  7338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
  Copyright terms: Public domain W3C validator