MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lemb Unicode version

Theorem inf3lemb 7371
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7381 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
inf3lem.2  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
inf3lem.3  |-  A  e. 
_V
inf3lem.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
inf3lemb  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Distinct variable group:    x, y, w
Allowed substitution hints:    A( x, y, w)    B( x, y, w)    F( x, y, w)    G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lemb
StepHypRef Expression
1 inf3lem.2 . . 3  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
21fveq1i 5564 . 2  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )
3 0ex 4187 . . 3  |-  (/)  e.  _V
4 fr0g 6490 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
53, 4ax-mp 8 . 2  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/)
62, 5eqtri 2336 1  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1633    e. wcel 1701   {crab 2581   _Vcvv 2822    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489    e. cmpt 4114   omcom 4693    |` cres 4728   ` cfv 5292   reccrdg 6464
This theorem is referenced by:  inf3lemd  7373  inf3lem1  7374  inf3lem2  7375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-recs 6430  df-rdg 6465
  Copyright terms: Public domain W3C validator