MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lemc Structured version   Unicode version

Theorem inf3lemc 7582
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 7591 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1  |-  G  =  ( y  e.  _V  |->  { w  e.  x  |  ( w  i^i  x )  C_  y } )
inf3lem.2  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
inf3lem.3  |-  A  e. 
_V
inf3lem.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
inf3lemc  |-  ( A  e.  om  ->  ( F `  suc  A )  =  ( G `  ( F `  A ) ) )
Distinct variable group:    x, y, w
Allowed substitution hints:    A( x, y, w)    B( x, y, w)    F( x, y, w)    G( x, y, w)

Proof of Theorem inf3lemc
StepHypRef Expression
1 frsuc 6695 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  A )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  A ) ) )
2 inf3lem.2 . . 3  |-  F  =  ( rec ( G ,  (/) )  |`  om )
32fveq1i 5730 . 2  |-  ( F `
 suc  A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  A )
42fveq1i 5730 . . 3  |-  ( F `
 A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  A )
54fveq2i 5732 . 2  |-  ( G `
 ( F `  A ) )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  A ) )
61, 3, 53eqtr4g 2494 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( F `  suc  A )  =  ( G `  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2710   _Vcvv 2957    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3629    e. cmpt 4267   suc csuc 4584   omcom 4846    |` cres 4881   ` cfv 5455   reccrdg 6668
This theorem is referenced by:  inf3lemd  7583  inf3lem1  7584  inf3lem2  7585  inf3lem3  7586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-recs 6634  df-rdg 6669
  Copyright terms: Public domain W3C validator