Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcdaabs Structured version   Unicode version

Theorem infcdaabs 8078
 Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infcdaabs

Proof of Theorem infcdaabs
StepHypRef Expression
1 cdadom2 8059 . . . . . 6
213ad2ant3 980 . . . . 5
3 simp1 957 . . . . . 6
4 xp2cda 8052 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
62, 5breqtrrd 4230 . . . 4
7 2onn 6875 . . . . . . 7
8 nnsdom 7600 . . . . . . 7
9 sdomdom 7127 . . . . . . 7
107, 8, 9mp2b 10 . . . . . 6
11 simp2 958 . . . . . 6
12 domtr 7152 . . . . . 6
1310, 11, 12sylancr 645 . . . . 5
14 xpdom2g 7196 . . . . 5
153, 13, 14syl2anc 643 . . . 4
16 domtr 7152 . . . 4
176, 15, 16syl2anc 643 . . 3
18 infxpidm2 7890 . . . 4
19183adant3 977 . . 3
20 domentr 7158 . . 3
2117, 19, 20syl2anc 643 . 2
22 reldom 7107 . . . . 5
2322brrelexi 4910 . . . 4
24233ad2ant3 980 . . 3
25 cdadom3 8060 . . 3
263, 24, 25syl2anc 643 . 2
27 sbth 7219 . 2
2821, 26, 27syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   class class class wbr 4204  com 4837   cxp 4868   cdm 4870  (class class class)co 6073  c2o 6710   cen 7098   cdom 7099   csdm 7100  ccrd 7814   ccda 8039 This theorem is referenced by:  infunabs  8079  infcda  8080  infdif  8081 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040
 Copyright terms: Public domain W3C validator