Theorem infcvglem2 7222

Description: Lemma for infcvg 7224. Show that G converges to the infimum.

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	|- R = {x | E.y e. X x = -uA}
infcvg.2	|- (y e. X -> A e. RR)
infcvg.3	|- Z e. X
infcvg.4	|- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
infcvg.5c	|- S = -usup(R, RR, < )
infcvg.9	|- G e. V
infcvg.10	|- (k e. NN -> (G` k) = (S + (1 / k)))
infcvg.11	|- H e. V
infcvg.12	|- (k e. NN -> (H` k) = (1 / k))

Assertion

Ref	Expression
infcvglem2	|- G ~~> S

Distinct variable groups:   x,A   x,y   k,G   k,H   z,w,R   S,k   x,k,y,X   x,Z,y

Proof of Theorem infcvglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.11	. . . . . 6 |- H e. V
2	1	reccnv 7218	. . . . 5 |- (A.k e. NN (H` k) = (1 / k) -> H ~~> 0)
3		infcvg.12	. . . . 5 |- (k e. NN -> (H` k) = (1 / k))
4	2, 3	mprg 1703	. . . 4 |- H ~~> 0
5		infcvg.5c	. . . . . 6 |- S = -usup(R, RR, < )
6		infcvg.1	. . . . . . . . 9 |- R = {x | E.y e. X x = -uA}
7		infcvg.2	. . . . . . . . 9 |- (y e. X -> A e. RR)
8		infcvg.3	. . . . . . . . 9 |- Z e. X
9		infcvg.4	. . . . . . . . 9 |- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
10	6, 7, 8, 9	infcvgaux1 7219	. . . . . . . 8 |- (R (_ RR /\ R =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. R w <_ z)
11	10	suprcli 6063	. . . . . . 7 |- sup(R, RR, < ) e. RR
12	11	renegcl 5428	. . . . . 6 |- -usup(R, RR, < ) e. RR
13	5, 12	eqeltr 1547	. . . . 5 |- S e. RR
14	13	recn 5326	. . . 4 |- S e. CC
15	4, 14	pm3.2i 285	. . 3 |- (H ~~> 0 /\ S e. CC)
16		1z 6161	. . . 4 |- 1 e. ZZ
17		elnnuz 6441	. . . . . 6 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>` 1))
18		nnrecret 5954	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (1 / k) e. RR)
19	18	recnd 5327	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (1 / k) e. CC)
20	3, 19	eqeltrd 1551	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (H` k) e. CC)
21		infcvg.10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (G` k) = (S + (1 / k)))
22	3	opreq2d 3982	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (S + (H` k)) = (S + (1 / k)))
23	21, 22	eqtr4d 1513	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (G` k) = (S + (H` k)))
24	20, 23	jca 288	. . . . . 6 |- (k e. NN -> ((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))
25	17, 24	sylbir 201	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` 1) -> ((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))
26	25	rgen 1701	. . . 4 |- A.k e. (ZZ>` 1)((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k)))
27	16, 26	pm3.2i 285	. . 3 |- (1 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 1)((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))
28		infcvg.9	. . . 4 |- G e. V
29		0cn 5340	. . . . 5 |- 0 e. CC
30	29	elisseti 1821	. . . 4 |- 0 e. V
31	13	elisseti 1821	. . . 4 |- S e. V
32	1, 28, 30, 31	climaddc2 7119	. . 3 |- (((H ~~> 0 /\ S e. CC) /\ (1 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 1)((H` k) e. CC /\ (G` k) = (S + (H` k))))) -> G ~~> (S + 0))
33	15, 27, 32	mp2an 699	. 2 |- G ~~> (S + 0)
34	14	addid1 5342	. 2 |- (S + 0) = S
35	33, 34	breqtr 2643	1 |- G ~~> S

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249  -ucneg 5305   / cdiv 5306   <_ cle 5307  NNcn 5308  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  infcvglem3 7223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975

Copyright terms: Public domain