Theorem infcvglem3 7223

Description: Lemma for infcvg 7224. Using climsqueeze 7140, show that sequence F, constructed from f, converges to the supremum.

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	|- R = {x | E.y e. X x = -uA}
infcvg.2	|- (y e. X -> A e. RR)
infcvg.3	|- Z e. X
infcvg.4	|- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
infcvg.5c	|- S = -usup(R, RR, < )
infcvg.9	|- G e. V
infcvg.10	|- (k e. NN -> (G` k) = (S + (1 / k)))
infcvg.11	|- H e. V
infcvg.12	|- (k e. NN -> (H` k) = (1 / k))
infcvg.6a	|- F e. V
infcvg.7a	|- (y = (f` k) -> A = B)
infcvg.8a	|- (k e. NN -> (F` k) = B)

Assertion

Ref	Expression
infcvglem3	|- E.f(f:NN-->X /\ F ~~> S)

Distinct variable groups:   x,f,A   x,y,B   k,F   k,G   k,H   z,w,R   f,k,S,y   f,X   x,k,y,X   x,Z,y   y,S

Proof of Theorem infcvglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.1	. . 3 |- R = {x | E.y e. X x = -uA}
2		infcvg.2	. . 3 |- (y e. X -> A e. RR)
3		infcvg.3	. . 3 |- Z e. X
4		infcvg.4	. . 3 |- E.z e. RR A.w e. R w <_ z
5		infcvg.5c	. . 3 |- S = -usup(R, RR, < )
6		infcvg.7a	. . 3 |- (y = (f` k) -> A = B)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	infcvglem1 7221	. 2 |- E.f(f:NN-->X /\ A.k e. NN B < (S + (1 / k)))
8		pm3.26 319	. . . 4 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN B < (S + (1 / k))) -> f:NN-->X)
9		infcvg.8a	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> (F` k) = B)
10		infcvg.10	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> (G` k) = (S + (1 / k)))
11	9, 10	breq12d 2631	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> ((F` k) < (G` k) <-> B < (S + (1 / k))))
12	11	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((F` k) < (G` k) <-> B < (S + (1 / k))))
13		ltlet 5520	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) -> ((F` k) < (G` k) -> (F` k) <_ (G` k)))
14	9	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) = B)
15		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (f` k) e. X)
16	6	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (f` k) -> (A e. RR <-> B e. RR))
17	16, 2	vtoclga 1852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f` k) e. X -> B e. RR)
18	15, 17	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> B e. RR)
19	14, 18	eqeltrd 1548	. . . . . . . . . . 11 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) e. RR)
20		nnrecret 5952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k e. NN -> (1 / k) e. RR)
21	1, 2, 3, 4	infcvgaux1 7219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (R (_ RR /\ R =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. R w <_ z)
22	21	suprcli 6061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- sup(R, RR, < ) e. RR
23	22	renegcl 5416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -usup(R, RR, < ) e. RR
24	5, 23	eqeltr 1544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S e. RR
25		axaddrcl 5272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((S e. RR /\ (1 / k) e. RR) -> (S + (1 / k)) e. RR)
26	24, 25	mpan 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((1 / k) e. RR -> (S + (1 / k)) e. RR)
27	20, 26	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. NN -> (S + (1 / k)) e. RR)
28	10, 27	eqeltrd 1548	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> (G` k) e. RR)
29	28	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (G` k) e. RR)
30	13, 19, 29	sylanc 471	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((F` k) < (G` k) -> (F` k) <_ (G` k)))
31	12, 30	sylbird 205	. . . . . . . . 9 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (B < (S + (1 / k)) -> (F` k) <_ (G` k)))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6	infcvgaux2 7220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f` k) e. X -> S <_ B)
33	15, 32	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> S <_ B)
34	33, 14	breqtrrd 2641	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> S <_ (F` k))
35	34	a1d 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((F` k) <_ (G` k) -> S <_ (F` k)))
36	35	ancrd 299	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((F` k) <_ (G` k) -> (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k))))
37	29, 19	jca 288	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR))
38	36, 37	jctild 601	. . . . . . . . 9 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> ((F` k) <_ (G` k) -> (((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k)))))
39	31, 38	syld 27	. . . . . . . 8 |- ((f:NN-->X /\ k e. NN) -> (B < (S + (1 / k)) -> (((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k)))))
40	39	r19.20dva 1709	. . . . . . 7 |- (f:NN-->X -> (A.k e. NN B < (S + (1 / k)) -> A.k e. NN (((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k)))))
41	40	imp 350	. . . . . 6 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN B < (S + (1 / k))) -> A.k e. NN (((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k))))
42		nnuz 6439	. . . . . . 7 |- NN = (ZZ>` 1)
43		raleq1 1786	. . . . . . 7 |- (NN = (ZZ>` 1) -> (A.k e. NN (((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k))) <-> A.k e. (ZZ>` 1)(((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k)))))
44	42, 43	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A.k e. NN (((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k))) <-> A.k e. (ZZ>` 1)(((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k))))
45	41, 44	sylib 198	. . . . 5 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN B < (S + (1 / k))) -> A.k e. (ZZ>` 1)(((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k))))
46		infcvg.9	. . . . . . 7 |- G e. V
47		infcvg.11	. . . . . . 7 |- H e. V
48		infcvg.12	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (H` k) = (1 / k))
49	1, 2, 3, 4, 5, 46, 10, 47, 48	infcvglem2 7222	. . . . . 6 |- G ~~> S
50		1z 6159	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
51		infcvg.6a	. . . . . . 7 |- F e. V
52	24	elisseti 1818	. . . . . . 7 |- S e. V
53	46, 51, 52	climsqueeze2 7141	. . . . . 6 |- ((G ~~> S /\ 1 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 1)(((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k)))) -> F ~~> S)
54	49, 50, 53	mp3an12 906	. . . . 5 |- (A.k e. (ZZ>` 1)(((G` k) e. RR /\ (F` k) e. RR) /\ (S <_ (F` k) /\ (F` k) <_ (G` k))) -> F ~~> S)
55	45, 54	syl 10	. . . 4 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN B < (S + (1 / k))) -> F ~~> S)
56	8, 55	jca 288	. . 3 |- ((f:NN-->X /\ A.k e. NN B < (S + (1 / k))) -> (f:NN-->X /\ F ~~> S))
57	56	19.22i 1040	. 2 |- (E.f(f:NN-->X /\ A.k e. NN B < (S + (1 / k))) -> E.f(f:NN-->X /\ F ~~> S))
58	7, 57	ax-mp 7	1 |- E.f(f:NN-->X /\ F ~~> S)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237  -ucneg 5293   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417   ~~> cli 6974

This theorem is referenced by:  infcvg 7224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588