Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infdiffi Structured version   Unicode version

Theorem infdiffi 7604
 Description: Removing a finite set from an infinite set does not change the cardinality of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infdiffi

Proof of Theorem infdiffi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3451 . . . . . 6
2 dif0 3690 . . . . . 6
31, 2syl6eq 2483 . . . . 5
43breq1d 4214 . . . 4
54imbi2d 308 . . 3
6 difeq2 3451 . . . . 5
76breq1d 4214 . . . 4
87imbi2d 308 . . 3
9 difeq2 3451 . . . . . 6
10 difun1 3593 . . . . . 6
119, 10syl6eq 2483 . . . . 5
1211breq1d 4214 . . . 4
1312imbi2d 308 . . 3
14 difeq2 3451 . . . . 5
1514breq1d 4214 . . . 4
1615imbi2d 308 . . 3
17 reldom 7107 . . . . 5
1817brrelex2i 4911 . . . 4
19 enrefg 7131 . . . 4
2018, 19syl 16 . . 3
21 domen2 7242 . . . . . . . . 9
2221biimparc 474 . . . . . . . 8
23 infdifsn 7603 . . . . . . . 8
2422, 23syl 16 . . . . . . 7
25 entr 7151 . . . . . . 7
2624, 25sylancom 649 . . . . . 6
2726ex 424 . . . . 5
2827a2i 13 . . . 4
2928a1i 11 . . 3
305, 8, 13, 16, 20, 29findcard2 7340 . 2
3130impcom 420 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310  c0 3620  csn 3806   class class class wbr 4204  com 4837   cen 7098   cdom 7099  cfn 7101 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105
 Copyright terms: Public domain W3C validator