Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infemb Unicode version

Theorem infemb 25859
Description: The inclusion functor is an embedding. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
infemb.1  |-  M1  =  dom  ( dom_ `  T
)
infemb.2  |-  M 2  =  dom  ( dom_ `  U
)
Assertion
Ref Expression
infemb  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  (  _I  |`  M 2 ) : M 2 -1-1-> M1 )

Proof of Theorem infemb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5511 . . 3  |-  (  _I  |`  M 2 ) : M 2 -1-1-onto-> M 2
2 infemb.1 . . . 4  |-  M1  =  dom  ( dom_ `  T
)
3 infemb.2 . . . 4  |-  M 2  =  dom  ( dom_ `  U
)
42, 3morsubc 25855 . . 3  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  M 2  C_  M1 )
5 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( dom_ `  U )  e.  _V
65dmex 4941 . . . . 5  |-  dom  ( dom_ `  U )  e. 
_V
73, 6eqeltri 2353 . . . 4  |-  M 2  e.  _V
8 f1oeq3 5465 . . . . 5  |-  ( x  =  M 2  ->  ( (  _I  |`  M 2
) : M 2 -1-1-onto-> x  <->  (  _I  |`  M 2
) : M 2 -1-1-onto-> M 2 ) )
9 sseq1 3199 . . . . 5  |-  ( x  =  M 2  ->  ( x  C_  M1  <->  M 2  C_  M1 ) )
108, 9anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  M 2  ->  ( ( (  _I  |`  M 2
) : M 2 -1-1-onto-> x  /\  x  C_  M1 )  <->  ( (  _I  |`  M 2
) : M 2 -1-1-onto-> M 2  /\  M 2  C_  M1 ) ) )
117, 10spcev 2875 . . 3  |-  ( ( (  _I  |`  M 2
) : M 2 -1-1-onto-> M 2  /\  M 2  C_  M1 )  ->  E. x
( (  _I  |`  M 2
) : M 2 -1-1-onto-> x  /\  x  C_  M1 )
)
121, 4, 11sylancr 644 . 2  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  E. x
( (  _I  |`  M 2
) : M 2 -1-1-onto-> x  /\  x  C_  M1 )
)
13 resiexg 4997 . . . 4  |-  ( M 2  e.  _V  ->  (  _I  |`  M 2
)  e.  _V )
147, 13ax-mp 8 . . 3  |-  (  _I  |`  M 2 )  e. 
_V
1514f11o 5506 . 2  |-  ( (  _I  |`  M 2
) : M 2 -1-1-> M1 
<->  E. x ( (  _I  |`  M 2
) : M 2 -1-1-onto-> x  /\  x  C_  M1 )
)
1612, 15sylibr 203 1  |-  ( U  e.  (  SubCat  `  T
)  ->  (  _I  |`  M 2 ) : M 2 -1-1-> M1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    _I cid 4304   dom cdm 4689    |` cres 4691   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   dom_cdom_ 25712    SubCat csubcat 25843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-catOLD 25753  df-subcat 25844
  Copyright terms: Public domain W3C validator