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Theorem infensuc 7039
Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
infensuc  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem infensuc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onprc 4576 . . . . 5  |-  -.  On  e.  _V
2 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( om  e.  _V  <->  On  e.  _V ) )
31, 2mtbiri 294 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  -.  om  e.  _V )
4 ssexg 4160 . . . . 5  |-  ( ( om  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  om  e.  _V )
54ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  _V )
63, 5nsyl3 111 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  -.  om  =  On )
7 omon 4667 . . . 4  |-  ( om  e.  On  \/  om  =  On )
87ori 364 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  On  ->  om  =  On )
96, 8nsyl2 119 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  om  e.  On )
10 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  x  =  om )
11 suceq 4457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  suc  x  =  suc  om )
1210, 11breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  om  ~~  suc  om ) )
13 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14 suceq 4457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
1513, 14breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  y  ~~  suc  y ) )
16 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
17 suceq 4457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
1816, 17breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  ~~  suc  x 
<->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
19 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
20 suceq 4457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
2119, 20breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  suc  x  <->  A  ~~  suc  A ) )
22 limom 4671 . . . . . . 7  |-  Lim  om
2322limensuci 7037 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  om  ~~  suc  om )
24 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2524sucex 4602 . . . . . . . . . 10  |-  suc  y  e.  _V
26 en2sn 6940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  _V  /\  suc  y  e.  _V )  ->  { y } 
~~  { suc  y } )
2724, 25, 26mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  { y }  ~~  { suc  y }
28 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
29 ordirr 4410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  y  ->  -.  y  e.  y )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  -.  y  e.  y )
31 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  y )
3230, 31sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  i^i  { y } )  =  (/) )
33 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  y  e.  On  ->  Ord 
suc  y )
34 ordirr 4410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
suc  y  ->  -.  suc  y  e.  suc  y )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  On  ->  -. 
suc  y  e.  suc  y )
36 sucelon 4608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  <->  suc  y  e.  On )
37 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) 
<->  -.  suc  y  e. 
suc  y )
3835, 36, 373imtr4i 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) )
3932, 38jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )
40 unen 6943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  ( y  u. 
{ y } ) 
~~  ( suc  y  u.  { suc  y } ) )
41 df-suc 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
42 df-suc 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  suc  y  =  ( suc  y  u.  { suc  y } )
4340, 41, 423brtr4g 4055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y } 
~~  { suc  y } )  /\  (
( y  i^i  {
y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i  { suc  y } )  =  (/) ) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y )
4443ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( ( ( y  i^i  { y } )  =  (/)  /\  ( suc  y  i^i 
{ suc  y }
)  =  (/) )  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4539, 44syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  ~~  suc  y  /\  { y }  ~~  { suc  y } )  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4627, 45mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( y 
~~  suc  y  ->  ( y  e.  On  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4746com12 27 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y ) )
4847ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  y
)  ->  ( y  ~~  suc  y  ->  suc  y  ~~  suc  suc  y
) )
49 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
50 limensuc 7038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5149, 50mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  x  ~~  suc  x )
5251ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  x  ~~  suc  x )
5352a1d 22 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  om  e.  On )  /\  om  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( om  C_  y  ->  y 
~~  suc  y )  ->  x  ~~  suc  x
) )
5412, 15, 18, 21, 23, 48, 53tfindsg 4651 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
om  e.  On )  /\  om  C_  A
)  ->  A  ~~  suc  A )
5554exp31 587 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5655com23 72 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  C_  A  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) ) )
5756imp 418 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  ( om  e.  On  ->  A  ~~  suc  A ) )
589, 57mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  om  C_  A )  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   omcom 4656    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  cardlim  7605  cardsucinf  7617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865
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