MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infeq5i Unicode version

Theorem infeq5i 7337
Description: Half of infeq5 7338. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
infeq5i  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )

Proof of Theorem infeq5i
StepHypRef Expression
1 difexg 4162 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  \  { (/) } )  e.  _V )
2 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
32snid 3667 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
}
4 disj4 3503 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  ( om  \  { (/) } ) 
C.  om )
5 disj3 3499 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  om  =  ( om  \  { (/) } ) )
64, 5bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  <->  om  =  ( om  \  { (/)
} ) )
7 peano1 4675 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
8 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  ( (/) 
e.  om  <->  (/)  e.  ( om 
\  { (/) } ) ) )
97, 8mpbii 202 . . . . . . 7  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (/)  e.  ( om  \  { (/) } ) )
10 eldif 3162 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( om  \  { (/)
} )  <->  ( (/)  e.  om  /\ 
-.  (/)  e.  { (/) } ) )
119, 10sylib 188 . . . . . 6  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  ( (/) 
e.  om  /\  -.  (/)  e.  { (/)
} ) )
1211simprd 449 . . . . 5  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  -.  (/) 
e.  { (/) } )
136, 12sylbi 187 . . . 4  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  ->  -.  (/)  e.  { (/) } )
143, 13mt4 129 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
15 unidif0 4183 . . . . 5  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  U. om
16 limom 4671 . . . . . 6  |-  Lim  om
17 limuni 4452 . . . . . 6  |-  ( Lim 
om  ->  om  =  U. om )
1816, 17ax-mp 8 . . . . 5  |-  om  =  U. om
1915, 18eqtr4i 2306 . . . 4  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  om
2019psseq2i 3266 . . 3  |-  ( ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  <-> 
( om  \  { (/)
} )  C.  om )
2114, 20mpbir 200 . 2  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  U. ( om  \  { (/)
} )
22 psseq1 3263 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. x
) )
23 unieq 3836 . . . . 5  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  U. x  =  U. ( om  \  { (/)
} ) )
2423psseq2d 3269 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
( om  \  { (/)
} )  C.  U. x 
<->  ( om  \  { (/)
} )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2522, 24bitrd 244 . . 3  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2625spcegv 2869 . 2  |-  ( ( om  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( om  \  { (/)
} )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  ->  E. x  x  C.  U. x ) )
271, 21, 26ee10 1366 1  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C. wpss 3153   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   Lim wlim 4393   omcom 4656
This theorem is referenced by:  infeq5  7338  inf5  7346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657
  Copyright terms: Public domain W3C validator