MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infeq5i Structured version   Unicode version

Theorem infeq5i 7594
Description: Half of infeq5 7595. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
infeq5i  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )

Proof of Theorem infeq5i
StepHypRef Expression
1 difexg 4354 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  \  { (/) } )  e.  _V )
2 0ex 4342 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
32snid 3843 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
}
4 disj4 3678 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  ( om  \  { (/) } ) 
C.  om )
5 disj3 3674 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  om  =  ( om  \  { (/) } ) )
64, 5bitr3i 244 . . . . 5  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  <->  om  =  ( om  \  { (/)
} ) )
7 peano1 4867 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
8 eleq2 2499 . . . . . . 7  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  ( (/) 
e.  om  <->  (/)  e.  ( om 
\  { (/) } ) ) )
97, 8mpbii 204 . . . . . 6  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (/)  e.  ( om  \  { (/) } ) )
109eldifbd 3335 . . . . 5  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  -.  (/) 
e.  { (/) } )
116, 10sylbi 189 . . . 4  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  ->  -.  (/)  e.  { (/) } )
123, 11mt4 132 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
13 unidif0 4375 . . . . 5  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  U. om
14 limom 4863 . . . . . 6  |-  Lim  om
15 limuni 4644 . . . . . 6  |-  ( Lim 
om  ->  om  =  U. om )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  om  =  U. om
1713, 16eqtr4i 2461 . . . 4  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  om
1817psseq2i 3439 . . 3  |-  ( ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  <-> 
( om  \  { (/)
} )  C.  om )
1912, 18mpbir 202 . 2  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  U. ( om  \  { (/)
} )
20 psseq1 3436 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. x
) )
21 unieq 4026 . . . . 5  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  U. x  =  U. ( om  \  { (/)
} ) )
2221psseq2d 3442 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
( om  \  { (/)
} )  C.  U. x 
<->  ( om  \  { (/)
} )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2320, 22bitrd 246 . . 3  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2423spcegv 3039 . 2  |-  ( ( om  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( om  \  { (/)
} )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  ->  E. x  x  C.  U. x ) )
251, 19, 24ee10 1386 1  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C. wpss 3323   (/)c0 3630   {csn 3816   U.cuni 4017   Lim wlim 4585   omcom 4848
This theorem is referenced by:  infeq5  7595  inf5  7603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849
  Copyright terms: Public domain W3C validator