MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infeq5i Unicode version

Theorem infeq5i 7551
Description: Half of infeq5 7552. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
infeq5i  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )

Proof of Theorem infeq5i
StepHypRef Expression
1 difexg 4315 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  \  { (/) } )  e.  _V )
2 0ex 4303 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
32snid 3805 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
}
4 disj4 3640 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  ( om  \  { (/) } ) 
C.  om )
5 disj3 3636 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  om  =  ( om  \  { (/) } ) )
64, 5bitr3i 243 . . . . 5  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  <->  om  =  ( om  \  { (/)
} ) )
7 peano1 4827 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
8 eleq2 2469 . . . . . . 7  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  ( (/) 
e.  om  <->  (/)  e.  ( om 
\  { (/) } ) ) )
97, 8mpbii 203 . . . . . 6  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (/)  e.  ( om  \  { (/) } ) )
109eldifbd 3297 . . . . 5  |-  ( om  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  -.  (/) 
e.  { (/) } )
116, 10sylbi 188 . . . 4  |-  ( -.  ( om  \  { (/)
} )  C.  om  ->  -.  (/)  e.  { (/) } )
123, 11mt4 131 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
13 unidif0 4336 . . . . 5  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  U. om
14 limom 4823 . . . . . 6  |-  Lim  om
15 limuni 4605 . . . . . 6  |-  ( Lim 
om  ->  om  =  U. om )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  om  =  U. om
1713, 16eqtr4i 2431 . . . 4  |-  U. ( om  \  { (/) } )  =  om
1817psseq2i 3401 . . 3  |-  ( ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  <-> 
( om  \  { (/)
} )  C.  om )
1912, 18mpbir 201 . 2  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  U. ( om  \  { (/)
} )
20 psseq1 3398 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. x
) )
21 unieq 3988 . . . . 5  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  U. x  =  U. ( om  \  { (/)
} ) )
2221psseq2d 3404 . . . 4  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
( om  \  { (/)
} )  C.  U. x 
<->  ( om  \  { (/)
} )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2320, 22bitrd 245 . . 3  |-  ( x  =  ( om  \  { (/)
} )  ->  (
x  C.  U. x  <->  ( om  \  { (/) } )  C.  U. ( om  \  { (/) } ) ) )
2423spcegv 3001 . 2  |-  ( ( om  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( om  \  { (/)
} )  C.  U. ( om  \  { (/) } )  ->  E. x  x  C.  U. x ) )
251, 19, 24ee10 1382 1  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x  x  C.  U. x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    i^i cin 3283    C. wpss 3285   (/)c0 3592   {csn 3778   U.cuni 3979   Lim wlim 4546   omcom 4808
This theorem is referenced by:  infeq5  7552  inf5  7560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809
  Copyright terms: Public domain W3C validator