Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffz Unicode version

Theorem inffz 24110
Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
inffz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  `'  <  )  =  M )

Proof of Theorem inffz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10047 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
2 ltso 8919 . . . . 5  |-  <  Or  RR
3 soss 4348 . . . . 5  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  ZZ ) )
41, 2, 3mp2 17 . . . 4  |-  <  Or  ZZ
5 cnvso 5230 . . . 4  |-  (  < 
Or  ZZ  <->  `'  <  Or  ZZ )
64, 5mpbi 199 . . 3  |-  `'  <  Or  ZZ
76a1i 10 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  `'  <  Or  ZZ )
8 eluzel2 10251 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
9 eluzfz1 10819 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
10 elfzle1 10815 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  x )
1110adantl 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  M  <_  x )
128zred 10133 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
13 elfzelz 10814 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
1413zred 10133 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
15 lenlt 8917 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
1612, 14, 15syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
1711, 16mpbid 201 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  x  <  M )
18 brcnvg 4878 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( M `'  <  x  <-> 
x  <  M )
)
1918notbid 285 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( -.  M `'  <  x  <->  -.  x  <  M ) )
208, 19sylan 457 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( -.  M `'  <  x  <->  -.  x  <  M ) )
2117, 20mpbird 223 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  M `'  <  x )
227, 8, 9, 21supmax 7232 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  `'  <  )  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    Or wor 4329   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator