Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffz Unicode version

Theorem inffz 24979
Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
inffz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  `'  <  )  =  M )

Proof of Theorem inffz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10221 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
2 ltso 9089 . . . . 5  |-  <  Or  RR
3 soss 4462 . . . . 5  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  ZZ ) )
41, 2, 3mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  ZZ
5 cnvso 5351 . . . 4  |-  (  < 
Or  ZZ  <->  `'  <  Or  ZZ )
64, 5mpbi 200 . . 3  |-  `'  <  Or  ZZ
76a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  `'  <  Or  ZZ )
8 eluzel2 10425 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
9 eluzfz1 10996 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
10 elfzle1 10992 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  x )
1110adantl 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  M  <_  x )
128zred 10307 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
13 elfzelz 10991 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
1413zred 10307 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
15 lenlt 9087 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
1612, 14, 15syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
1711, 16mpbid 202 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  x  <  M )
18 brcnvg 4993 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( M `'  <  x  <-> 
x  <  M )
)
1918notbid 286 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( -.  M `'  <  x  <->  -.  x  <  M ) )
208, 19sylan 458 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  ( -.  M `'  <  x  <->  -.  x  <  M ) )
2117, 20mpbird 224 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  M `'  <  x )
227, 8, 9, 21supmax 7403 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  `'  <  )  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    Or wor 4443   `'ccnv 4817   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   supcsup 7380   RRcr 8922    < clt 9053    <_ cle 9054   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-neg 9226  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator