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Theorem inficl 7422
Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
inficl  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, V
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem inficl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfii 7416 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
2 eqimss2 3393 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  A  C_  z )
32biantrurd 495 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) ) )
4 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
54raleqbi1dv 2904 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
65raleqbi1dv 2904 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
73, 6bitr3d 247 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A ) )
87elabg 3075 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
9 intss1 4057 . . . . 5  |-  ( A  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A
)
108, 9syl6bir 221 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A ) )
11 dffi2 7420 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
1211sseq1d 3367 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( fi `  A
)  C_  A  <->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  A
) )
1310, 12sylibrd 226 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  -> 
( fi `  A
)  C_  A )
)
14 eqss 3355 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  =  A  <->  ( ( fi `  A )  C_  A  /\  A  C_  ( fi `  A ) ) )
1514simplbi2com 1383 . . 3  |-  ( A 
C_  ( fi `  A )  ->  (
( fi `  A
)  C_  A  ->  ( fi `  A )  =  A ) )
161, 13, 15sylsyld 54 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  -> 
( fi `  A
)  =  A ) )
17 fiin 7419 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
1817rgen2a 2764 . . 3  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
19 eleq2 2496 . . . . 5  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A )  <->  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
2019raleqbi1dv 2904 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )  <->  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
) )
2120raleqbi1dv 2904 . . 3  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  ( A. x  e.  ( fi `  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A ) )
2218, 21mpbii 203 . 2  |-  ( ( fi `  A )  =  A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y )  e.  A
)
2316, 22impbid1 195 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  i^i  y
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697    i^i cin 3311    C_ wss 3312   |^|cint 4042   ` cfv 5446   ficfi 7407
This theorem is referenced by:  fipwuni  7423  fisn  7424  fitop  16965  ordtbaslem  17244  ptbasin2  17602  filfi  17883  fmfnfmlem3  17980  ustuqtop2  18264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408
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