Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inficl Structured version   Unicode version

Theorem inficl 7422
 Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
inficl
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem inficl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfii 7416 . . 3
2 eqimss2 3393 . . . . . . . 8
32biantrurd 495 . . . . . . 7
4 eleq2 2496 . . . . . . . . 9
54raleqbi1dv 2904 . . . . . . . 8
65raleqbi1dv 2904 . . . . . . 7
73, 6bitr3d 247 . . . . . 6
87elabg 3075 . . . . 5
9 intss1 4057 . . . . 5
108, 9syl6bir 221 . . . 4
11 dffi2 7420 . . . . 5
1211sseq1d 3367 . . . 4
1310, 12sylibrd 226 . . 3
14 eqss 3355 . . . 4
1514simplbi2com 1383 . . 3
161, 13, 15sylsyld 54 . 2
17 fiin 7419 . . . 4
1817rgen2a 2764 . . 3
19 eleq2 2496 . . . . 5
2019raleqbi1dv 2904 . . . 4
2120raleqbi1dv 2904 . . 3
2218, 21mpbii 203 . 2
2316, 22impbid1 195 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697   cin 3311   wss 3312  cint 4042  cfv 5446  cfi 7407 This theorem is referenced by:  fipwuni  7423  fisn  7424  fitop  16965  ordtbaslem  17244  ptbasin2  17602  filfi  17883  fmfnfmlem3  17980  ustuqtop2  18264 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408
 Copyright terms: Public domain W3C validator