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Theorem infm3 9899
Description: The completeness axiom for reals in terms of infimum: a non-empty, bounded-below set of reals has an infimum. (This theorem is the dual of sup3 9897.) (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
infm3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem infm3
Dummy variables  w  v  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3285 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( v  e.  A  ->  v  e.  RR ) )
21pm4.71rd 617 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( v  e.  A  <->  ( v  e.  RR  /\  v  e.  A ) ) )
32exbidv 1633 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. v  v  e.  A  <->  E. v ( v  e.  RR  /\  v  e.  A ) ) )
4 df-rex 2655 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  RR  v  e.  A  <->  E. v ( v  e.  RR  /\  v  e.  A ) )
5 renegcl 9296 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  RR  ->  -u w  e.  RR )
6 infm3lem 9898 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  RR  ->  E. w  e.  RR  v  =  -u w )
7 eleq1 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  -u w  ->  (
v  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
85, 6, 7rexxfr 4683 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  RR  v  e.  A  <->  E. w  e.  RR  -u w  e.  A )
94, 8bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( E. v ( v  e.  RR  /\  v  e.  A )  <->  E. w  e.  RR  -u w  e.  A
)
103, 9syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. v  v  e.  A  <->  E. w  e.  RR  -u w  e.  A ) )
11 n0 3580 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. v  v  e.  A )
12 rabn0 3590 . . . . . 6  |-  ( { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  RR  -u w  e.  A )
1310, 11, 123bitr4g 280 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A  =/=  (/)  <->  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  =/=  (/) ) )
14 ssel 3285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
1514pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) ) )
1615imbi1d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  A  ->  x  <_  y )  <->  ( (
y  e.  RR  /\  y  e.  A )  ->  x  <_  y )
) )
17 impexp 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  A )  ->  x  <_  y
)  <->  ( y  e.  RR  ->  ( y  e.  A  ->  x  <_ 
y ) ) )
1816, 17syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  A  ->  x  <_  y )  <->  ( y  e.  RR  ->  ( y  e.  A  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
1918albidv 1632 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y ( y  e.  A  ->  x  <_  y )  <->  A. y ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  A  ->  x  <_  y ) ) ) )
20 df-ral 2654 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y ( y  e.  A  ->  x  <_  y ) )
21 renegcl 9296 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  RR  ->  -u v  e.  RR )
22 infm3lem 9898 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  E. v  e.  RR  y  =  -u v )
23 eleq1 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u v  ->  (
y  e.  A  <->  -u v  e.  A ) )
24 breq2 4157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u v  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  -u v ) )
2523, 24imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -u v  ->  (
( y  e.  A  ->  x  <_  y )  <->  (
-u v  e.  A  ->  x  <_  -u v ) ) )
2621, 22, 25ralxfr 4681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR  (
y  e.  A  ->  x  <_  y )  <->  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  x  <_  -u v ) )
27 df-ral 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR  (
y  e.  A  ->  x  <_  y )  <->  A. y
( y  e.  RR  ->  ( y  e.  A  ->  x  <_  y )
) )
2826, 27bitr3i 243 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  x  <_  -u v )  <->  A. y
( y  e.  RR  ->  ( y  e.  A  ->  x  <_  y )
) )
2919, 20, 283bitr4g 280 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  x  <_  -u v ) ) )
3029rexbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  RR  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  x  <_  -u v ) ) )
31 renegcl 9296 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  RR  ->  -u u  e.  RR )
32 infm3lem 9898 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  E. u  e.  RR  x  =  -u u )
33 breq1 4156 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u u  ->  (
x  <_  -u v  <->  -u u  <_  -u v ) )
3433imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u u  ->  (
( -u v  e.  A  ->  x  <_  -u v )  <-> 
( -u v  e.  A  -> 
-u u  <_  -u v
) ) )
3534ralbidv 2669 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u u  ->  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  x  <_  -u v )  <->  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  -> 
-u u  <_  -u v
) ) )
3631, 32, 35rexxfr 4683 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  x  <_  -u v )  <->  E. u  e.  RR  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -u u  <_ 
-u v ) )
37 negeq 9230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  v  ->  -u w  =  -u v )
3837eleq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  v  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u v  e.  A ) )
3938elrab 3035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  <->  ( v  e.  RR  /\  -u v  e.  A ) )
4039imbi1i 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  v  <_  u )  <->  ( (
v  e.  RR  /\  -u v  e.  A )  ->  v  <_  u
) )
41 impexp 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  e.  RR  /\  -u v  e.  A
)  ->  v  <_  u )  <->  ( v  e.  RR  ->  ( -u v  e.  A  ->  v  <_  u ) ) )
4240, 41bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  v  <_  u )  <->  ( v  e.  RR  ->  ( -u v  e.  A  ->  v  <_  u ) ) )
4342albii 1572 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v ( v  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  v  <_  u
)  <->  A. v ( v  e.  RR  ->  ( -u v  e.  A  -> 
v  <_  u )
) )
44 df-ral 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <_  u 
<-> 
A. v ( v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  v  <_  u ) )
45 df-ral 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  -> 
v  <_  u )  <->  A. v ( v  e.  RR  ->  ( -u v  e.  A  ->  v  <_  u ) ) )
4643, 44, 453bitr4ri 270 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  -> 
v  <_  u )  <->  A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <_  u )
47 leneg 9463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  RR  /\  u  e.  RR )  ->  ( v  <_  u  <->  -u u  <_  -u v ) )
4847ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( v  <_  u  <->  -u u  <_  -u v ) )
4948imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( -u v  e.  A  ->  v  <_  u )  <->  ( -u v  e.  A  ->  -u u  <_ 
-u v ) ) )
5049ralbidva 2665 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  RR  ->  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  v  <_  u )  <->  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -u u  <_  -u v ) ) )
5146, 50syl5bbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  RR  ->  ( A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <_  u 
<-> 
A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  -> 
-u u  <_  -u v
) ) )
5251rexbiia 2682 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  RR  A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <_  u 
<->  E. u  e.  RR  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -u u  <_  -u v ) )
5336, 52bitr4i 244 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  x  <_  -u v )  <->  E. u  e.  RR  A. v  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <_  u
)
5430, 53syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. u  e.  RR  A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <_  u ) )
5513, 54anbi12d 692 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  <->  ( { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. u  e.  RR  A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <_  u
) ) )
56 ssrab2 3371 . . . . 5  |-  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  C_  RR
57 sup3 9897 . . . . 5  |-  ( ( { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  C_  RR  /\  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. u  e.  RR  A. v  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <_  u
)  ->  E. u  e.  RR  ( A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v  /\  A. v  e.  RR  ( v  <  u  ->  E. t  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
v  <  t )
) )
5856, 57mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. u  e.  RR  A. v  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <_  u
)  ->  E. u  e.  RR  ( A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v  /\  A. v  e.  RR  ( v  <  u  ->  E. t  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
v  <  t )
) )
5955, 58syl6bi 220 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. u  e.  RR  ( A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v  /\  A. v  e.  RR  ( v  <  u  ->  E. t  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
v  <  t )
) ) )
6015imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  y  <  x )  <-> 
( ( y  e.  RR  /\  y  e.  A )  ->  -.  y  <  x ) ) )
61 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  A )  ->  -.  y  <  x )  <->  ( y  e.  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  <  x ) ) )
6260, 61syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  y  <  x )  <-> 
( y  e.  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  <  x
) ) ) )
6362albidv 1632 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y ( y  e.  A  ->  -.  y  <  x )  <->  A. y
( y  e.  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  <  x
) ) ) )
64 df-ral 2654 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. y
( y  e.  A  ->  -.  y  <  x
) )
65 breq1 4156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u v  ->  (
y  <  x  <->  -u v  < 
x ) )
6665notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -u v  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  -u v  <  x ) )
6723, 66imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  -u v  ->  (
( y  e.  A  ->  -.  y  <  x
)  <->  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x ) ) )
6821, 22, 67ralxfr 4681 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  RR  (
y  e.  A  ->  -.  y  <  x )  <->  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x
) )
69 df-ral 2654 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  RR  (
y  e.  A  ->  -.  y  <  x )  <->  A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  <  x ) ) )
7068, 69bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x
)  <->  A. y ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  A  ->  -.  y  <  x ) ) )
7163, 64, 703bitr4g 280 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x ) ) )
72 breq2 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  -u v  ->  (
x  <  y  <->  x  <  -u v ) )
73 breq2 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -u v  ->  (
z  <  y  <->  z  <  -u v ) )
7473rexbidv 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  -u v  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  <->  E. z  e.  A  z  <  -u v ) )
7572, 74imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  -u v  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  <  -u v  ->  E. z  e.  A  z  <  -u v ) ) )
7621, 22, 75ralxfr 4681 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  A. v  e.  RR  ( x  <  -u v  ->  E. z  e.  A  z  <  -u v ) )
77 ssel 3285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
7877adantrd 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( z  e.  A  /\  z  <  -u v )  -> 
z  e.  RR ) )
7978pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( z  e.  A  /\  z  <  -u v )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( z  e.  A  /\  z  <  -u v ) ) ) )
8079exbidv 1633 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z ( z  e.  A  /\  z  <  -u v )  <->  E. z
( z  e.  RR  /\  ( z  e.  A  /\  z  <  -u v
) ) ) )
81 df-rex 2655 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  z  <  -u v  <->  E. z
( z  e.  A  /\  z  <  -u v
) )
82 renegcl 9296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  RR  ->  -u t  e.  RR )
83 infm3lem 9898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  E. t  e.  RR  z  =  -u t )
84 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  -u t  ->  (
z  e.  A  <->  -u t  e.  A ) )
85 breq1 4156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  -u t  ->  (
z  <  -u v  <->  -u t  <  -u v ) )
8684, 85anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  -u t  ->  (
( z  e.  A  /\  z  <  -u v
)  <->  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) )
8782, 83, 86rexxfr 4683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  RR  (
z  e.  A  /\  z  <  -u v )  <->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) )
88 df-rex 2655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  RR  (
z  e.  A  /\  z  <  -u v )  <->  E. z
( z  e.  RR  /\  ( z  e.  A  /\  z  <  -u v
) ) )
8987, 88bitr3i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
)  <->  E. z ( z  e.  RR  /\  (
z  e.  A  /\  z  <  -u v ) ) )
9080, 81, 893bitr4g 280 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  e.  A  z  <  -u v  <->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) )
9190imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  <  -u v  ->  E. z  e.  A  z  <  -u v )  <->  ( x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) ) )
9291ralbidv 2669 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. v  e.  RR  (
x  <  -u v  ->  E. z  e.  A  z  <  -u v )  <->  A. v  e.  RR  ( x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) ) )
9376, 92syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  A. v  e.  RR  ( x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) ) )
9471, 93anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <-> 
( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x )  /\  A. v  e.  RR  (
x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) ) ) ) )
9594rexbidv 2670 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x
)  /\  A. v  e.  RR  ( x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) ) ) )
96 breq2 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u u  ->  ( -u v  <  x  <->  -u v  <  -u u ) )
9796notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u u  ->  ( -.  -u v  <  x  <->  -.  -u v  <  -u u
) )
9897imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u u  ->  (
( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x
)  <->  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  -u u ) ) )
9998ralbidv 2669 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u u  ->  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x
)  <->  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  -u u
) ) )
100 breq1 4156 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u u  ->  (
x  <  -u v  <->  -u u  <  -u v ) )
101100imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u u  ->  (
( x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) )  <->  ( -u u  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) ) )
102101ralbidv 2669 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u u  ->  ( A. v  e.  RR  ( x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) )  <->  A. v  e.  RR  ( -u u  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) ) )
10399, 102anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u u  ->  (
( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x )  /\  A. v  e.  RR  (
x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) ) )  <->  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  -u u
)  /\  A. v  e.  RR  ( -u u  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) ) ) )
10431, 32, 103rexxfr 4683 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x
)  /\  A. v  e.  RR  ( x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) )  <->  E. u  e.  RR  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  -u u
)  /\  A. v  e.  RR  ( -u u  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) ) )
10539imbi1i 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -.  u  <  v )  <->  ( (
v  e.  RR  /\  -u v  e.  A )  ->  -.  u  <  v ) )
106 impexp 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  RR  /\  -u v  e.  A
)  ->  -.  u  <  v )  <->  ( v  e.  RR  ->  ( -u v  e.  A  ->  -.  u  <  v ) ) )
107105, 106bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -.  u  <  v )  <->  ( v  e.  RR  ->  ( -u v  e.  A  ->  -.  u  <  v ) ) )
108107albii 1572 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v ( v  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -.  u  <  v )  <->  A. v ( v  e.  RR  ->  ( -u v  e.  A  ->  -.  u  <  v ) ) )
109 df-ral 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v  <->  A. v ( v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  ->  -.  u  <  v ) )
110 df-ral 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  u  <  v )  <->  A. v ( v  e.  RR  ->  ( -u v  e.  A  ->  -.  u  <  v ) ) )
111108, 109, 1103bitr4ri 270 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  u  <  v )  <->  A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v )
112 ltneg 9460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( u  <  v  <->  -u v  <  -u u
) )
113112notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( -.  u  < 
v  <->  -.  -u v  <  -u u ) )
114113imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( -u v  e.  A  ->  -.  u  <  v )  <->  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  -u u ) ) )
115114ralbidva 2665 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  RR  ->  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  u  <  v
)  <->  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  -u u
) ) )
116111, 115syl5bbr 251 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  RR  ->  ( A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v  <->  A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  -u u
) ) )
117 ltneg 9460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  RR  /\  u  e.  RR )  ->  ( v  <  u  <->  -u u  <  -u v
) )
118117ancoms 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( v  <  u  <->  -u u  <  -u v
) )
119 negeq 9230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  t  ->  -u w  =  -u t )
120119eleq1d 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  t  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u t  e.  A ) )
121120rexrab 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  < 
t  <->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  v  <  t ) )
122 ltneg 9460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( v  <  t  <->  -u t  <  -u v
) )
123122anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( -u t  e.  A  /\  v  <  t )  <->  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) )
124123rexbidva 2666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  RR  ->  ( E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  v  <  t )  <->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) ) )
125121, 124syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  RR  ->  ( E. t  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  < 
t  <->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) ) )
126125adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( E. t  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <  t  <->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) ) )
127118, 126imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( ( v  < 
u  ->  E. t  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <  t
)  <->  ( -u u  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) ) )
128127ralbidva 2665 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  RR  ->  ( A. v  e.  RR  ( v  <  u  ->  E. t  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
v  <  t )  <->  A. v  e.  RR  ( -u u  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) ) ) )
129116, 128anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( A. v  e. 
{ w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v  /\  A. v  e.  RR  ( v  <  u  ->  E. t  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }
v  <  t )
)  <->  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  -u u )  /\  A. v  e.  RR  ( -u u  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) ) ) ) )
130129rexbiia 2682 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  RR  ( A. v  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v  /\  A. v  e.  RR  ( v  < 
u  ->  E. t  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  <  t
) )  <->  E. u  e.  RR  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  -u u )  /\  A. v  e.  RR  ( -u u  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v
) ) ) )
131104, 130bitr4i 244 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. v  e.  RR  ( -u v  e.  A  ->  -.  -u v  <  x
)  /\  A. v  e.  RR  ( x  <  -u v  ->  E. t  e.  RR  ( -u t  e.  A  /\  -u t  <  -u v ) ) )  <->  E. u  e.  RR  ( A. v  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v  /\  A. v  e.  RR  (
v  <  u  ->  E. t  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  < 
t ) ) )
13295, 131syl6bb 253 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  E. u  e.  RR  ( A. v  e.  {
w  e.  RR  |  -u w  e.  A }  -.  u  <  v  /\  A. v  e.  RR  (
v  <  u  ->  E. t  e.  { w  e.  RR  |  -u w  e.  A } v  < 
t ) ) ) )
13359, 132sylibrd 226 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
1341333impib 1151 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653    C_ wss 3263   (/)c0 3571   class class class wbr 4153   RRcr 8922    < clt 9053    <_ cle 9054   -ucneg 9224
This theorem is referenced by:  infmsup  9918  infmrgelb  9920  infmrlb  9921  xrinfmsslem  10818  gtinf  26013  infrglb  27390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226
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