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Theorem infm3 9959
 Description: The completeness axiom for reals in terms of infimum: a non-empty, bounded-below set of reals has an infimum. (This theorem is the dual of sup3 9957.) (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
infm3
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem infm3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3334 . . . . . . . . 9
21pm4.71rd 617 . . . . . . . 8
32exbidv 1636 . . . . . . 7
4 df-rex 2703 . . . . . . . 8
5 renegcl 9356 . . . . . . . . 9
6 infm3lem 9958 . . . . . . . . 9
7 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
85, 6, 7rexxfr 4735 . . . . . . . 8
94, 8bitr3i 243 . . . . . . 7
103, 9syl6bb 253 . . . . . 6
11 n0 3629 . . . . . 6
12 rabn0 3639 . . . . . 6
1310, 11, 123bitr4g 280 . . . . 5
14 ssel 3334 . . . . . . . . . . . 12
1514pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . 11
1615imbi1d 309 . . . . . . . . . 10
17 impexp 434 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl6bb 253 . . . . . . . . 9
1918albidv 1635 . . . . . . . 8
20 df-ral 2702 . . . . . . . 8
21 renegcl 9356 . . . . . . . . . 10
22 infm3lem 9958 . . . . . . . . . 10
23 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11
24 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11
2523, 24imbi12d 312 . . . . . . . . . 10
2621, 22, 25ralxfr 4733 . . . . . . . . 9
27 df-ral 2702 . . . . . . . . 9
2826, 27bitr3i 243 . . . . . . . 8
2919, 20, 283bitr4g 280 . . . . . . 7
3029rexbidv 2718 . . . . . 6
31 renegcl 9356 . . . . . . . 8
32 infm3lem 9958 . . . . . . . 8
33 breq1 4207 . . . . . . . . . 10
3433imbi2d 308 . . . . . . . . 9
3534ralbidv 2717 . . . . . . . 8
3631, 32, 35rexxfr 4735 . . . . . . 7
37 negeq 9290 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
3938elrab 3084 . . . . . . . . . . . . 13
4039imbi1i 316 . . . . . . . . . . . 12
41 impexp 434 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41bitri 241 . . . . . . . . . . 11
4342albii 1575 . . . . . . . . . 10
44 df-ral 2702 . . . . . . . . . 10
45 df-ral 2702 . . . . . . . . . 10
4643, 44, 453bitr4ri 270 . . . . . . . . 9
47 leneg 9523 . . . . . . . . . . . 12
4847ancoms 440 . . . . . . . . . . 11
4948imbi2d 308 . . . . . . . . . 10
5049ralbidva 2713 . . . . . . . . 9
5146, 50syl5bbr 251 . . . . . . . 8
5251rexbiia 2730 . . . . . . 7
5336, 52bitr4i 244 . . . . . 6
5430, 53syl6bb 253 . . . . 5
5513, 54anbi12d 692 . . . 4
56 ssrab2 3420 . . . . 5
57 sup3 9957 . . . . 5
5856, 57mp3an1 1266 . . . 4
5955, 58syl6bi 220 . . 3
6015imbi1d 309 . . . . . . . . 9
61 impexp 434 . . . . . . . . 9
6260, 61syl6bb 253 . . . . . . . 8
6362albidv 1635 . . . . . . 7
64 df-ral 2702 . . . . . . 7
65 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11
6665notbid 286 . . . . . . . . . 10
6723, 66imbi12d 312 . . . . . . . . 9
6821, 22, 67ralxfr 4733 . . . . . . . 8
69 df-ral 2702 . . . . . . . 8
7068, 69bitr3i 243 . . . . . . 7
7163, 64, 703bitr4g 280 . . . . . 6
72 breq2 4208 . . . . . . . . 9
73 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
7473rexbidv 2718 . . . . . . . . 9
7572, 74imbi12d 312 . . . . . . . 8
7621, 22, 75ralxfr 4733 . . . . . . 7
77 ssel 3334 . . . . . . . . . . . . 13
7877adantrd 455 . . . . . . . . . . . 12
7978pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . 11
8079exbidv 1636 . . . . . . . . . 10
81 df-rex 2703 . . . . . . . . . 10
82 renegcl 9356 . . . . . . . . . . . 12
83 infm3lem 9958 . . . . . . . . . . . 12
84 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13
85 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12
8782, 83, 86rexxfr 4735 . . . . . . . . . . 11
88 df-rex 2703 . . . . . . . . . . 11
8987, 88bitr3i 243 . . . . . . . . . 10
9080, 81, 893bitr4g 280 . . . . . . . . 9
9190imbi2d 308 . . . . . . . 8
9291ralbidv 2717 . . . . . . 7
9376, 92syl5bb 249 . . . . . 6
9471, 93anbi12d 692 . . . . 5
9594rexbidv 2718 . . . 4
96 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
9796notbid 286 . . . . . . . . 9
9897imbi2d 308 . . . . . . . 8
9998ralbidv 2717 . . . . . . 7
100 breq1 4207 . . . . . . . . 9
101100imbi1d 309 . . . . . . . 8
102101ralbidv 2717 . . . . . . 7
10399, 102anbi12d 692 . . . . . 6
10431, 32, 103rexxfr 4735 . . . . 5
10539imbi1i 316 . . . . . . . . . . 11
106 impexp 434 . . . . . . . . . . 11
107105, 106bitri 241 . . . . . . . . . 10
108107albii 1575 . . . . . . . . 9
109 df-ral 2702 . . . . . . . . 9
110 df-ral 2702 . . . . . . . . 9
111108, 109, 1103bitr4ri 270 . . . . . . . 8
112 ltneg 9520 . . . . . . . . . . 11
113112notbid 286 . . . . . . . . . 10
114113imbi2d 308 . . . . . . . . 9
115114ralbidva 2713 . . . . . . . 8
116111, 115syl5bbr 251 . . . . . . 7
117 ltneg 9520 . . . . . . . . . 10
118117ancoms 440 . . . . . . . . 9
119 negeq 9290 . . . . . . . . . . . . 13
120119eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12
121120rexrab 3090 . . . . . . . . . . 11
122 ltneg 9520 . . . . . . . . . . . . 13
123122anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12
124123rexbidva 2714 . . . . . . . . . . 11
125121, 124syl5bb 249 . . . . . . . . . 10
126125adantl 453 . . . . . . . . 9
127118, 126imbi12d 312 . . . . . . . 8
128127ralbidva 2713 . . . . . . 7
129116, 128anbi12d 692 . . . . . 6
130129rexbiia 2730 . . . . 5
131104, 130bitr4i 244 . . . 4
13295, 131syl6bb 253 . . 3
13359, 132sylibrd 226 . 2
1341333impib 1151 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wal 1549  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204  cr 8981   clt 9112   cle 9113  cneg 9284 This theorem is referenced by:  infmsup  9978  infmrgelb  9980  infmrlb  9981  xrinfmsslem  10878  gtinf  26313  infrglb  27689 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286
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