Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmap2 Structured version   Unicode version

Theorem infmap2 8090
 Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Similar to Lemma 6.2 of [Jech] p. 43. Although this version of infmap 8443 avoids the axiom of choice, it requires the powerset of an infinite set to be well-orderable and so is usually not applicable. (Contributed by NM, 1-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infmap2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem infmap2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . 3
2 breq2 4208 . . . . 5
32anbi2d 685 . . . 4
43abbidv 2549 . . 3
51, 4breq12d 4217 . 2
6 simpl2 961 . . . . . . . . . 10
7 reldom 7107 . . . . . . . . . . 11
87brrelexi 4910 . . . . . . . . . 10
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9
107brrelex2i 4911 . . . . . . . . . 10
116, 10syl 16 . . . . . . . . 9
12 xpcomeng 7192 . . . . . . . . 9
139, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . 8
14 simpl3 962 . . . . . . . . . 10
15 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
16 mapdom3 7271 . . . . . . . . . . 11
1711, 9, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
18 numdom 7911 . . . . . . . . . 10
1914, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . 9
20 simpl1 960 . . . . . . . . 9
21 infxpabs 8084 . . . . . . . . 9
2219, 20, 15, 6, 21syl22anc 1185 . . . . . . . 8
23 entr 7151 . . . . . . . 8
2413, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . 7
25 ssenen 7273 . . . . . . 7
2624, 25syl 16 . . . . . 6
27 relen 7106 . . . . . . 7
2827brrelexi 4910 . . . . . 6
2926, 28syl 16 . . . . 5
30 abid2 2552 . . . . . 6
31 elmapi 7030 . . . . . . . 8
32 fssxp 5594 . . . . . . . . 9
33 ffun 5585 . . . . . . . . . . 11
34 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12
3534fundmen 7172 . . . . . . . . . . 11
36 ensym 7148 . . . . . . . . . . 11
3733, 35, 363syl 19 . . . . . . . . . 10
38 fdm 5587 . . . . . . . . . 10
3937, 38breqtrd 4228 . . . . . . . . 9
4032, 39jca 519 . . . . . . . 8
4131, 40syl 16 . . . . . . 7
4241ss2abi 3407 . . . . . 6
4330, 42eqsstr3i 3371 . . . . 5
44 ssdomg 7145 . . . . 5
4529, 43, 44ee10 1385 . . . 4
46 domentr 7158 . . . 4
4745, 26, 46syl2anc 643 . . 3
48 ovex 6098 . . . . . . 7
4948mptex 5958 . . . . . 6
5049rnex 5125 . . . . 5
51 ensym 7148 . . . . . . . . . . . 12
5251ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11
53 bren 7109 . . . . . . . . . . 11
5452, 53sylib 189 . . . . . . . . . 10
55 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15
5956, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
60 elmapg 7023 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6111, 9, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
6359, 62mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13
64 f1ofo 5673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 forn 5648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
6867eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . 13
6963, 68jca 519 . . . . . . . . . . . 12
7069ex 424 . . . . . . . . . . 11
7170eximdv 1632 . . . . . . . . . 10
7254, 71mpd 15 . . . . . . . . 9
73 df-rex 2703 . . . . . . . . 9
7472, 73sylibr 204 . . . . . . . 8
7574ex 424 . . . . . . 7
7675ss2abdv 3408 . . . . . 6
77 eqid 2435 . . . . . . 7
7877rnmpt 5108 . . . . . 6
7976, 78syl6sseqr 3387 . . . . 5
80 ssdomg 7145 . . . . 5
8150, 79, 80mpsyl 61 . . . 4
82 vex 2951 . . . . . . . . 9
8382rnex 5125 . . . . . . . 8
8483rgenw 2765 . . . . . . 7
8577fnmpt 5563 . . . . . . 7
8684, 85mp1i 12 . . . . . 6
87 dffn4 5651 . . . . . 6
8886, 87sylib 189 . . . . 5
89 fodomnum 7930 . . . . 5
9014, 88, 89sylc 58 . . . 4
91 domtr 7152 . . . 4
9281, 90, 91syl2anc 643 . . 3
93 sbth 7219 . . 3
9447, 92, 93syl2anc 643 . 2
957brrelex2i 4911 . . . . 5
96953ad2ant1 978 . . . 4
97 map0e 7043 . . . 4
9896, 97syl 16 . . 3
99 1onn 6874 . . . . . 6
10099elexi 2957 . . . . 5
101100enref 7132 . . . 4
102 df-sn 3812 . . . . 5
103 df1o2 6728 . . . . 5
104 en0 7162 . . . . . . . 8
105104anbi2i 676 . . . . . . 7
106 0ss 3648 . . . . . . . . 9
107 sseq1 3361 . . . . . . . . 9
108106, 107mpbiri 225 . . . . . . . 8
109108pm4.71ri 615 . . . . . . 7
110105, 109bitr4i 244 . . . . . 6
111110abbii 2547 . . . . 5
112102, 103, 1113eqtr4ri 2466 . . . 4
113101, 112breqtrri 4229 . . 3
11498, 113syl6eqbr 4241 . 2
1155, 94, 114pm2.61ne 2673 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  com 4837   cxp 4868   cdm 4870   crn 4871   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  wfo 5444  wf1o 5445  (class class class)co 6073  c1o 6709   cmap 7010   cen 7098   cdom 7099  ccrd 7814 This theorem is referenced by:  infmap  8443 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821
 Copyright terms: Public domain W3C validator