MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrcl Unicode version

Theorem infmrcl 9951
Description: Closure of infimum of a non-empty bounded set of reals. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
infmrcl  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem infmrcl
Dummy variables  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infmsup 9950 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
2 n0 3605 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
3 ssel 3310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
4 renegcl 9328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
53, 4syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  -u z  e.  RR ) )
6 ssel2 3311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
76recnd 9078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
87negnegd 9366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  -u -u z  =  z )
9 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
108, 9eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  -u -u z  e.  A )
1110ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  -u -u z  e.  A ) )
125, 11jcad 520 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  ( -u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A
) ) )
13 negeq 9262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  -u z  ->  -u v  =  -u -u z )
1413eleq1d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  -u z  ->  ( -u v  e.  A  <->  -u -u z  e.  A ) )
1514elrab 3060 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  <->  ( -u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A ) )
16 ne0i 3602 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
1715, 16sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
1812, 17syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) ) )
1918exlimdv 1643 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) ) )
2019imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  E. z  z  e.  A
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
212, 20sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
22213adant3 977 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
23 renegcl 9328 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
24 negeq 9262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  -u v  =  -u w )
2524eleq1d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  w  ->  ( -u v  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
2625elrab 3060 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  <->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
27 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  -u w ) )
2827rspcva 3018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u w  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_  -u w )
2928adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_  -u w )
3029adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_ 
-u w )
31 lenegcon2 9497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3231adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  ->  (
x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3430, 33mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  w  <_ 
-u x )
3534exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  w  <_  -u x ) ) )
3626, 35syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  w  <_  -u x ) ) )
3736com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  (
w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  w  <_  -u x ) ) )
3837ralrimdv 2763 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  -u x
) )
39 breq2 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u x  ->  (
w  <_  z  <->  w  <_  -u x ) )
4039ralbidv 2694 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  -u x  ->  ( A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  z  <->  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  -u x
) )
4140rspcev 3020 . . . . . . 7  |-  ( (
-u x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  {
v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  -u x )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  z )
4223, 38, 41ee12an 1369 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z ) )
4342rexlimiv 2792 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )
44433ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )
45 ssrab2 3396 . . . . 5  |-  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  C_  RR
46 suprcl 9932 . . . . 5  |-  ( ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  C_  RR  /\  {
v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4745, 46mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4822, 44, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4948renegcld 9428 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -u sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
501, 49eqeltrd 2486 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678    C_ wss 3288   (/)c0 3596   class class class wbr 4180   `'ccnv 4844   supcsup 7411   RRcr 8953    < clt 9084    <_ cle 9085   -ucneg 9256
This theorem is referenced by:  infmrgelb  9952  infmrlb  9953  supminf  10527  infmxrre  10878  minveclem4c  19287  minveclem3b  19290  minveclem6  19296  pilem2  20329  pilem3  20330  pntlem3  21264  minvecolem2  22338  minvecolem3  22339  minvecolem4c  22342  minvecolem5  22344  minvecolem6  22345  pellfundre  26842  infrglb  27597  climinf  27607  stirlinglem13  27710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258
  Copyright terms: Public domain W3C validator