MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrcl Unicode version

Theorem infmrcl 9912
Description: Closure of infimum of a non-empty bounded set of reals. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
infmrcl  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem infmrcl
Dummy variables  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infmsup 9911 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
2 n0 3573 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
3 ssel 3278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
4 renegcl 9289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
53, 4syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  -u z  e.  RR ) )
6 ssel2 3279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
76recnd 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
87negnegd 9327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  -u -u z  =  z )
9 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
108, 9eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  -u -u z  e.  A )
1110ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  -u -u z  e.  A ) )
125, 11jcad 520 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  ( -u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A
) ) )
13 negeq 9223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  -u z  ->  -u v  =  -u -u z )
1413eleq1d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  -u z  ->  ( -u v  e.  A  <->  -u -u z  e.  A ) )
1514elrab 3028 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  <->  ( -u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A ) )
16 ne0i 3570 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
1715, 16sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
1812, 17syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) ) )
1918exlimdv 1643 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) ) )
2019imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  E. z  z  e.  A
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
212, 20sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
22213adant3 977 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
23 renegcl 9289 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
24 negeq 9223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  -u v  =  -u w )
2524eleq1d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  w  ->  ( -u v  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
2625elrab 3028 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  <->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
27 breq2 4150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  -u w ) )
2827rspcva 2986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u w  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_  -u w )
2928adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_  -u w )
3029adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_ 
-u w )
31 lenegcon2 9458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3231adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  ->  (
x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3430, 33mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  w  <_ 
-u x )
3534exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  w  <_  -u x ) ) )
3626, 35syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  w  <_  -u x ) ) )
3736com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  (
w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  w  <_  -u x ) ) )
3837ralrimdv 2731 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  -u x
) )
39 breq2 4150 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u x  ->  (
w  <_  z  <->  w  <_  -u x ) )
4039ralbidv 2662 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  -u x  ->  ( A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  z  <->  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  -u x
) )
4140rspcev 2988 . . . . . . 7  |-  ( (
-u x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  {
v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  -u x )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  z )
4223, 38, 41ee12an 1369 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z ) )
4342rexlimiv 2760 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )
44433ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )
45 ssrab2 3364 . . . . 5  |-  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  C_  RR
46 suprcl 9893 . . . . 5  |-  ( ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  C_  RR  /\  {
v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4745, 46mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4822, 44, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4948renegcld 9389 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -u sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
501, 49eqeltrd 2454 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646    C_ wss 3256   (/)c0 3564   class class class wbr 4146   `'ccnv 4810   supcsup 7373   RRcr 8915    < clt 9046    <_ cle 9047   -ucneg 9217
This theorem is referenced by:  infmrgelb  9913  infmrlb  9914  supminf  10488  infmxrre  10839  minveclem4c  19186  minveclem3b  19189  minveclem6  19195  pilem2  20228  pilem3  20229  pntlem3  21163  minvecolem2  22218  minvecolem3  22219  minvecolem4c  22222  minvecolem5  22224  minvecolem6  22225  pellfundre  26628  infrglb  27383  climinf  27393  stirlinglem13  27496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219
  Copyright terms: Public domain W3C validator