MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrcl Structured version   Unicode version

Theorem infmrcl 9987
Description: Closure of infimum of a non-empty bounded set of reals. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
infmrcl  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem infmrcl
Dummy variables  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infmsup 9986 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
2 n0 3637 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
3 ssel 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
4 renegcl 9364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
53, 4syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  -u z  e.  RR ) )
6 ssel2 3343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
76recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
87negnegd 9402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  -u -u z  =  z )
9 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
108, 9eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  -u -u z  e.  A )
1110ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  -u -u z  e.  A ) )
125, 11jcad 520 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  ( -u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A
) ) )
13 negeq 9298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  -u z  ->  -u v  =  -u -u z )
1413eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  -u z  ->  ( -u v  e.  A  <->  -u -u z  e.  A ) )
1514elrab 3092 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  <->  ( -u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A ) )
16 ne0i 3634 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u z  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
1715, 16sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u z  e.  RR  /\  -u -u z  e.  A
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
1812, 17syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) ) )
1918exlimdv 1646 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) ) )
2019imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  E. z  z  e.  A
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
212, 20sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
22213adant3 977 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/) )
23 renegcl 9364 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
24 negeq 9298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  -u v  =  -u w )
2524eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  w  ->  ( -u v  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
2625elrab 3092 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  <->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
27 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  -u w ) )
2827rspcva 3050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u w  e.  A  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_  -u w )
2928adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
)  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_  -u w )
3029adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  x  <_ 
-u w )
31 lenegcon2 9533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3231adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  ->  (
x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  <_  -u w  <->  w  <_  -u x ) )
3430, 33mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
) )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  w  <_ 
-u x )
3534exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  w  <_  -u x ) ) )
3626, 35syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  w  <_  -u x ) ) )
3736com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  (
w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  ->  w  <_  -u x ) ) )
3837ralrimdv 2795 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  -u x
) )
39 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u x  ->  (
w  <_  z  <->  w  <_  -u x ) )
4039ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  -u x  ->  ( A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  z  <->  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  -u x
) )
4140rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( (
-u x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  {
v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  -u x )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }
w  <_  z )
4223, 38, 41ee12an 1372 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z ) )
4342rexlimiv 2824 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )
44433ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )
45 ssrab2 3428 . . . . 5  |-  { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  C_  RR
46 suprcl 9968 . . . . 5  |-  ( ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  C_  RR  /\  {
v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4745, 46mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A }  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e. 
{ v  e.  RR  |  -u v  e.  A } w  <_  z )  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4822, 44, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4948renegcld 9464 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -u sup ( { v  e.  RR  |  -u v  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
501, 49eqeltrd 2510 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   supcsup 7445   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121   -ucneg 9292
This theorem is referenced by:  infmrgelb  9988  infmrlb  9989  supminf  10563  infmxrre  10914  minveclem4c  19326  minveclem3b  19329  minveclem6  19335  pilem2  20368  pilem3  20369  pntlem3  21303  minvecolem2  22377  minvecolem3  22378  minvecolem4c  22381  minvecolem5  22383  minvecolem6  22384  pellfundre  26944  infrglb  27698  climinf  27708  stirlinglem13  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator