Theorem infmrcl 6069

Description: Closure of infimum of a non-empty bounded set of reals.

Assertion

Ref	Expression
infmrcl	|- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem infmrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmsup 6068	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) = -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ))
2		ssrab2 2131	. . . . 5 |- {v e. RR | -uv e. A} (_ RR
3		suprcl 6055	. . . . 5 |- (({v e. RR | -uv e. A} (_ RR /\ {v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
4	2, 3	mp3an1 903	. . . 4 |- (({v e. RR | -uv e. A} =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
5		ssel 2063	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ RR -> (z e. A -> z e. RR))
6		renegclt 5437	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> -uz e. RR)
7	5, 6	syl6 22	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ RR -> (z e. A -> -uz e. RR))
8		ssel2 2064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
9		recnt 5313	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. RR -> z e. CC)
10		negnegt 5393	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. CC -> -u-uz = z)
11	8, 9, 10	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> -u-uz = z)
12		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. A)
13	11, 12	eqeltrd 1548	. . . . . . . . . . 11 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> -u-uz e. A)
14	13	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ RR -> (z e. A -> -u-uz e. A))
15	7, 14	jcad 600	. . . . . . . . 9 |- (A (_ RR -> (z e. A -> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A)))
16		negeq 5359	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = -uz -> -uv = -u-uz)
17	16	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . 11 |- (v = -uz -> (-uv e. A <-> -u-uz e. A))
18	17	elrab 1905	. . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (-uz e. RR /\ -u-uz e. A))
19		ne0i 2286	. . . . . . . . . 10 |- (-uz e. {v e. RR | -uv e. A} -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
20	18, 19	sylbir 201	. . . . . . . . 9 |- ((-uz e. RR /\ -u-uz e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
21	15, 20	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (A (_ RR -> (z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
22	21	19.23adv 1214	. . . . . . 7 |- (A (_ RR -> (E.z z e. A -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/)))
23	22	imp 350	. . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ E.z z e. A) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
24		ne0 2288	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
25	23, 24	sylan2b 452	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
26	25	3adant3 799	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> {v e. RR | -uv e. A} =/= (/))
27		breq2 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -uw -> (x <_ y <-> x <_ -uw))
28	27	rcla4va 1875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uw e. A /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
29	28	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. RR /\ -uw e. A) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
30	29	adantll 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> x <_ -uw)
31		lenegcon2t 5659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. RR /\ w e. RR) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
32	31	adantrr 395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
33	32	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> (x <_ -uw <-> w <_ -ux))
34	30, 33	mpbid 195	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. RR /\ (w e. RR /\ -uw e. A)) /\ A.y e. A x <_ y) -> w <_ -ux)
35	34	exp31 376	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> ((w e. RR /\ -uw e. A) -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
36		negeq 5359	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = w -> -uv = -uw)
37	36	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> (-uv e. A <-> -uw e. A))
38	37	elrab 1905	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. {v e. RR | -uv e. A} <-> (w e. RR /\ -uw e. A))
39	35, 38	syl5ib 206	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> (A.y e. A x <_ y -> w <_ -ux)))
40	39	com23 32	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (w e. {v e. RR | -uv e. A} -> w <_ -ux)))
41	40	r19.21adv 1718	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
42		renegclt 5437	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> -ux e. RR)
43	41, 42	jctild 601	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> (-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux)))
44		breq2 2623	. . . . . . . . 9 |- (z = -ux -> (w <_ z <-> w <_ -ux))
45	44	ralbidv 1663	. . . . . . . 8 |- (z = -ux -> (A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z <-> A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux))
46	45	rcla4ev 1877	. . . . . . 7 |- ((-ux e. RR /\ A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ -ux) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
47	43, 46	syl6 22	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z))
48	47	r19.23aiv 1743	. . . . 5 |- (E.x e. RR A.y e. A x <_ y -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
49	48	3ad2ant3 802	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> E.z e. RR A.w e. {v e. RR | -uv e. A}w <_ z)
50	4, 26, 49	sylanc 471	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
51		renegclt 5437	. . 3 |- (sup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
52	50, 51	syl 10	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> -usup({v e. RR | -uv e. A}, RR, < ) e. RR)
53	1, 52	eqeltrd 1548	1 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A x <_ y) -> sup(A, RR, `' < ) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  `'ccnv 3169  supcsup 4573  CCcc 5232  RRcr 5233  -ucneg 5293   <_ cle 5295   < clt 5486

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain