MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrgelb Unicode version

Theorem infmrgelb 9948
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelb  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  A  B  <_  z ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem infmrgelb
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9116 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR
2 cnvso 5374 . . . . . . . 8  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
31, 2mpbi 200 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or  RR
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  `'  <  Or  RR )
5 infm3 9927 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
6 vex 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
7 vex 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
86, 7brcnv 5018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
98notbii 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
109ralbii 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x )
117, 6brcnv 5018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
12 vex 2923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
137, 12brcnv 5018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  w  <->  w  <  y )
1413rexbii 2695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  A  y `'  <  w  <->  E. w  e.  A  w  <  y )
1511, 14imbi12i 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w )  <-> 
( x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) )
1615ralbii 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) )
1710, 16anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
1817rexbii 2695 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
195, 18sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) ) )
20 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
214, 19, 20suplub2 7426 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  E. w  e.  A  B `'  <  w ) )
2221notbid 286 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  E. w  e.  A  B `'  <  w ) )
23 ralnex 2680 . . . 4  |-  ( A. w  e.  A  -.  B `'  <  w  <->  -.  E. w  e.  A  B `'  <  w )
2422, 23syl6bbr 255 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  A  -.  B `'  <  w ) )
25 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
26 infmrcl 9947 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2726adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
28 lenlt 9114 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B ) )
29 brcnvg 5016 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
3029notbid 286 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
3128, 30bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3225, 27, 31syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3325adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
34 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
3534sselda 3312 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
36 lenlt 9114 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  w  <  B ) )
37 brcnvg 5016 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B `'  <  w  <-> 
w  <  B )
)
3837notbid 286 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  w  <->  -.  w  <  B ) )
3936, 38bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  B `'  <  w
) )
4033, 35, 39syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  B `'  <  w ) )
4140ralbidva 2686 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  A  B  <_  w  <->  A. w  e.  A  -.  B `'  <  w ) )
4224, 32, 413bitr4d 277 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  A  B  <_  w ) )
43 breq2 4180 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  ( B  <_  w  <->  B  <_  z ) )
4443cbvralv 2896 . 2  |-  ( A. w  e.  A  B  <_  w  <->  A. z  e.  A  B  <_  z )
4542, 44syl6bb 253 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  A  B  <_  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   (/)c0 3592   class class class wbr 4176    Or wor 4466   `'ccnv 4840   supcsup 7407   RRcr 8949    < clt 9080    <_ cle 9081
This theorem is referenced by:  infmxrre  10874  minveclem2  19284  minveclem3b  19286  minveclem4  19290  minveclem6  19292  pilem2  20325  pilem3  20326  pntlem3  21260  minvecolem2  22334  minvecolem4  22339  minvecolem5  22340  minvecolem6  22341  infmrgelbi  26835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254
  Copyright terms: Public domain W3C validator