Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrgelb Structured version   Unicode version

Theorem infmrgelb 9993
 Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelb
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem infmrgelb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9161 . . . . . . . 8
2 cnvso 5414 . . . . . . . 8
31, 2mpbi 201 . . . . . . 7
43a1i 11 . . . . . 6
5 infm3 9972 . . . . . . 7
6 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12
7 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12
86, 7brcnv 5058 . . . . . . . . . . 11
98notbii 289 . . . . . . . . . 10
109ralbii 2731 . . . . . . . . 9
117, 6brcnv 5058 . . . . . . . . . . 11
12 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13
137, 12brcnv 5058 . . . . . . . . . . . 12
1413rexbii 2732 . . . . . . . . . . 11
1511, 14imbi12i 318 . . . . . . . . . 10
1615ralbii 2731 . . . . . . . . 9
1710, 16anbi12i 680 . . . . . . . 8
1817rexbii 2732 . . . . . . 7
195, 18sylibr 205 . . . . . 6
20 simp1 958 . . . . . 6
214, 19, 20suplub2 7469 . . . . 5
2221notbid 287 . . . 4
23 ralnex 2717 . . . 4
2422, 23syl6bbr 256 . . 3
25 simpr 449 . . . 4
26 infmrcl 9992 . . . . 5
2726adantr 453 . . . 4
28 lenlt 9159 . . . . 5
29 brcnvg 5056 . . . . . 6
3029notbid 287 . . . . 5
3128, 30bitr4d 249 . . . 4
3225, 27, 31syl2anc 644 . . 3
3325adantr 453 . . . . 5
34 simpl1 961 . . . . . 6
3534sselda 3350 . . . . 5
36 lenlt 9159 . . . . . 6
37 brcnvg 5056 . . . . . . 7
3837notbid 287 . . . . . 6
3936, 38bitr4d 249 . . . . 5
4033, 35, 39syl2anc 644 . . . 4
4140ralbidva 2723 . . 3
4224, 32, 413bitr4d 278 . 2
43 breq2 4219 . . 3
4443cbvralv 2934 . 2
4542, 44syl6bb 254 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   wss 3322  c0 3630   class class class wbr 4215   wor 4505  ccnv 4880  csup 7448  cr 8994   clt 9125   cle 9126 This theorem is referenced by:  infmxrre  10919  minveclem2  19332  minveclem3b  19334  minveclem4  19338  minveclem6  19340  pilem2  20373  pilem3  20374  pntlem3  21308  minvecolem2  22382  minvecolem4  22387  minvecolem5  22388  minvecolem6  22389  infmrgelbi  26955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299
 Copyright terms: Public domain W3C validator