MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrgelb Unicode version

Theorem infmrgelb 9824
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelb  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  A  B  <_  z ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem infmrgelb
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 8993 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR
2 cnvso 5296 . . . . . . . 8  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
31, 2mpbi 199 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or  RR
43a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  `'  <  Or  RR )
5 infm3 9803 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
6 vex 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
7 vex 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
86, 7brcnv 4946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
98notbii 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
109ralbii 2643 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x )
117, 6brcnv 4946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
12 vex 2867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
137, 12brcnv 4946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  w  <->  w  <  y )
1413rexbii 2644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  A  y `'  <  w  <->  E. w  e.  A  w  <  y )
1511, 14imbi12i 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w )  <-> 
( x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) )
1615ralbii 2643 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) )
1710, 16anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
1817rexbii 2644 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. w  e.  A  w  <  y ) ) )
195, 18sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. w  e.  A  y `'  <  w ) ) )
20 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
214, 19, 20suplub2 7302 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  E. w  e.  A  B `'  <  w ) )
2221notbid 285 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  E. w  e.  A  B `'  <  w ) )
23 ralnex 2629 . . . 4  |-  ( A. w  e.  A  -.  B `'  <  w  <->  -.  E. w  e.  A  B `'  <  w )
2422, 23syl6bbr 254 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  A  -.  B `'  <  w ) )
25 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
26 infmrcl 9823 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2726adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
28 lenlt 8991 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B ) )
29 brcnvg 4944 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
3029notbid 285 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
3128, 30bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3225, 27, 31syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3325adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
34 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
3534sselda 3256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
36 lenlt 8991 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  w  <  B ) )
37 brcnvg 4944 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B `'  <  w  <-> 
w  <  B )
)
3837notbid 285 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( -.  B `'  <  w  <->  -.  w  <  B ) )
3936, 38bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  B `'  <  w
) )
4033, 35, 39syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  ( B  <_  w  <->  -.  B `'  <  w ) )
4140ralbidva 2635 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  A  B  <_  w  <->  A. w  e.  A  -.  B `'  <  w ) )
4224, 32, 413bitr4d 276 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  A  B  <_  w ) )
43 breq2 4108 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  ( B  <_  w  <->  B  <_  z ) )
4443cbvralv 2840 . 2  |-  ( A. w  e.  A  B  <_  w  <->  A. z  e.  A  B  <_  z )
4542, 44syl6bb 252 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  A  B  <_  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   (/)c0 3531   class class class wbr 4104    Or wor 4395   `'ccnv 4770   supcsup 7283   RRcr 8826    < clt 8957    <_ cle 8958
This theorem is referenced by:  infmxrre  10746  minveclem2  18894  minveclem3b  18896  minveclem4  18900  minveclem6  18902  pilem2  19935  pilem3  19936  pntlem3  20870  minvecolem2  21568  minvecolem4  21573  minvecolem5  21574  minvecolem6  21575  infmrgelbi  26286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130
  Copyright terms: Public domain W3C validator