MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrlb Unicode version

Theorem infmrlb 9751
Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrlb  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Distinct variable group:    x, y, B
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem infmrlb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  B )
2 ltso 8919 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
3 cnvso 5230 . . . . . 6  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
42, 3mpbi 199 . . . . 5  |-  `'  <  Or  RR
54a1i 10 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  `'  <  Or  RR )
6 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  C_  RR )
7 ne0i 3474 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
873ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  =/=  (/) )
9 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)
10 infm3 9729 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
116, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
12 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
13 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1412, 13brcnv 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1514notbii 287 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
1615ralbii 2580 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  B  -.  y  <  x )
1713, 12brcnv 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
18 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
1913, 18brcnv 4880 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
2019rexbii 2581 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  y `'  <  z  <->  E. z  e.  B  z  <  y )
2117, 20imbi12i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2221ralbii 2580 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2316, 22anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
2423rexbii 2581 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
2511, 24sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) ) )
265, 25supub 7226 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( A  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
271, 26mpd 14 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A )
28 infmrcl 9749 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
296, 8, 9, 28syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
30 ssel2 3188 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  RR )
31303adant2 974 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  RR )
3229, 31lenltd 8981 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
33 brcnvg 4878 . . . . 5  |-  ( ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  A  e.  B )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3429, 1, 33syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <-> 
A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3534notbid 285 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3632, 35bitr4d 247 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -. 
sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
3727, 36mpbird 223 1  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    Or wor 4329   `'ccnv 4704   supcsup 7209   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  minveclem2  18806  minveclem4  18812  aalioulem2  19729  pilem2  19844  pilem3  19845  pntlem3  20774  minvecolem2  21470  minvecolem4  21475  infleOLD  26336  infmrlbOLD  26525  pellfundlb  27072  climinf  27835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator