Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrlb Structured version   Unicode version

Theorem infmrlb 9989
 Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrlb
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem infmrlb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . 3
2 ltso 9156 . . . . . 6
3 cnvso 5411 . . . . . 6
42, 3mpbi 200 . . . . 5
54a1i 11 . . . 4
6 simp1 957 . . . . . 6
7 ne0i 3634 . . . . . . 7
873ad2ant3 980 . . . . . 6
9 simp2 958 . . . . . 6
10 infm3 9967 . . . . . 6
116, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5
12 vex 2959 . . . . . . . . . 10
13 vex 2959 . . . . . . . . . 10
1412, 13brcnv 5055 . . . . . . . . 9
1514notbii 288 . . . . . . . 8
1615ralbii 2729 . . . . . . 7
1713, 12brcnv 5055 . . . . . . . . 9
18 vex 2959 . . . . . . . . . . 11
1913, 18brcnv 5055 . . . . . . . . . 10
2019rexbii 2730 . . . . . . . . 9
2117, 20imbi12i 317 . . . . . . . 8
2221ralbii 2729 . . . . . . 7
2316, 22anbi12i 679 . . . . . 6
2423rexbii 2730 . . . . 5
2511, 24sylibr 204 . . . 4
265, 25supub 7464 . . 3
271, 26mpd 15 . 2
28 infmrcl 9987 . . . . 5
296, 8, 9, 28syl3anc 1184 . . . 4
30 ssel2 3343 . . . . 5
31303adant2 976 . . . 4
3229, 31lenltd 9219 . . 3
33 brcnvg 5053 . . . . 5
3429, 1, 33syl2anc 643 . . . 4
3534notbid 286 . . 3
3632, 35bitr4d 248 . 2
3727, 36mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706   wss 3320  c0 3628   class class class wbr 4212   wor 4502  ccnv 4877  csup 7445  cr 8989   clt 9120   cle 9121 This theorem is referenced by:  minveclem2  19327  minveclem4  19333  aalioulem2  20250  pilem2  20368  pilem3  20369  pntlem3  21303  minvecolem2  22377  minvecolem4  22382  pellfundlb  26947  climinf  27708 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
 Copyright terms: Public domain W3C validator