MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrlb Structured version   Unicode version

Theorem infmrlb 9989
Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrlb  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Distinct variable group:    x, y, B
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem infmrlb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  B )
2 ltso 9156 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
3 cnvso 5411 . . . . . 6  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
42, 3mpbi 200 . . . . 5  |-  `'  <  Or  RR
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  `'  <  Or  RR )
6 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  C_  RR )
7 ne0i 3634 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
873ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  =/=  (/) )
9 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)
10 infm3 9967 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
116, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
12 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
13 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1412, 13brcnv 5055 . . . . . . . . 9  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1514notbii 288 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
1615ralbii 2729 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  B  -.  y  <  x )
1713, 12brcnv 5055 . . . . . . . . 9  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
18 vex 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
1913, 18brcnv 5055 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
2019rexbii 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  y `'  <  z  <->  E. z  e.  B  z  <  y )
2117, 20imbi12i 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2221ralbii 2729 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2316, 22anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
2423rexbii 2730 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
2511, 24sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) ) )
265, 25supub 7464 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( A  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
271, 26mpd 15 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A )
28 infmrcl 9987 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
296, 8, 9, 28syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
30 ssel2 3343 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  RR )
31303adant2 976 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  RR )
3229, 31lenltd 9219 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
33 brcnvg 5053 . . . . 5  |-  ( ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  A  e.  B )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3429, 1, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <-> 
A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3534notbid 286 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3632, 35bitr4d 248 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -. 
sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
3727, 36mpbird 224 1  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    Or wor 4502   `'ccnv 4877   supcsup 7445   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  minveclem2  19327  minveclem4  19333  aalioulem2  20250  pilem2  20368  pilem3  20369  pntlem3  21303  minvecolem2  22377  minvecolem4  22382  pellfundlb  26947  climinf  27708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator