MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmrlb Unicode version

Theorem infmrlb 9735
Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
infmrlb  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Distinct variable group:    x, y, B
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem infmrlb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  B )
2 ltso 8903 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
3 cnvso 5214 . . . . . 6  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
42, 3mpbi 199 . . . . 5  |-  `'  <  Or  RR
54a1i 10 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  `'  <  Or  RR )
6 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  C_  RR )
7 ne0i 3461 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
873ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  B  =/=  (/) )
9 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)
10 infm3 9713 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
116, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
12 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
13 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1412, 13brcnv 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
1514notbii 287 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
1615ralbii 2567 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  B  -.  y  <  x )
1713, 12brcnv 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
18 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
1913, 18brcnv 4864 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
2019rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  y `'  <  z  <->  E. z  e.  B  z  <  y )
2117, 20imbi12i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2221ralbii 2567 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) )
2316, 22anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
2423rexbii 2568 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  B  z  <  y ) ) )
2511, 24sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  B  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  B  y `'  <  z ) ) )
265, 25supub 7210 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( A  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
271, 26mpd 14 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A )
28 infmrcl 9733 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
296, 8, 9, 28syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
30 ssel2 3175 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  RR )
31303adant2 974 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  RR )
3229, 31lenltd 8965 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
33 brcnvg 4862 . . . . 5  |-  ( ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  A  e.  B )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3429, 1, 33syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <-> 
A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3534notbid 285 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( -.  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A  <->  -.  A  <  sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
3632, 35bitr4d 247 . 2  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  ( sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A  <->  -. 
sup ( B ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  A ) )
3727, 36mpbird 223 1  |-  ( ( B  C_  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  A  e.  B
)  ->  sup ( B ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    Or wor 4313   `'ccnv 4688   supcsup 7193   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  minveclem2  18790  minveclem4  18796  aalioulem2  19713  pilem2  19828  pilem3  19829  pntlem3  20758  minvecolem2  21454  minvecolem4  21459  infleOLD  26233  infmrlbOLD  26422  pellfundlb  26969  climinf  27732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator