MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmxrre Unicode version

Theorem infmxrre 10654
Description: The real and extended real infima match when the real infimum exists. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmxrre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem infmxrre
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
2 ressxr 8876 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3191 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR* )
4 infmxrcl 10635 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
6 xrleid 10484 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )
)
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
8 infmxrgelb 10653 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x )
)
93, 5, 8syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x
) )
10 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  =/=  (/) )
11 n0 3464 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
1210, 11sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. z 
z  e.  A )
135adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
141sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
15 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  e.  RR*
1615a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -oo  e.  RR* )
17 infmrcl 9733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
1817rexrd 8881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )
19 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
2017, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
2117leidd 9339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
22 infmrgelb 9734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
) )
2317, 22mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
) )
24 infmxrgelb 10653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
253, 18, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
2623, 25bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
2721, 26mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
2816, 18, 5, 20, 27xrltletrd 10492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
2928adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
30 infmxrlb 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  z )
313, 30sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  z )
32 xrre 10498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  z  e.  RR )  /\  (  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  z ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
3313, 14, 29, 31, 32syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
3433ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( z  e.  A  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR ) )
3534exlimdv 1664 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR ) )
3612, 35mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
37 infmrgelb 9734 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x )
)
3836, 37mpdan 649 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x )
)
399, 38bitr4d 247 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
407, 39mpbid 201 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
41 xrletri3 10486 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) ) ) )
425, 18, 41syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) ) ) )
4340, 27, 42mpbir2and 888 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   supcsup 7193   RRcr 8736    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  mbflimsup  19021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator