MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmxrre Unicode version

Theorem infmxrre 10839
Description: The real and extended real infima match when the real infimum exists. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmxrre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem infmxrre
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
2 ressxr 9055 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3296 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR* )
4 infmxrcl 10820 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
6 xrleid 10668 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )
)
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
8 infmxrgelb 10838 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x )
)
93, 5, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x
) )
10 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  =/=  (/) )
11 n0 3573 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
1210, 11sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. z 
z  e.  A )
135adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
141sselda 3284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
15 mnfxr 10639 . . . . . . . . . 10  |-  -oo  e.  RR*
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -oo  e.  RR* )
17 infmrcl 9912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
1817rexrd 9060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )
19 mnflt 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
2117leidd 9518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
22 infmrgelb 9913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
) )
2317, 22mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
) )
24 infmxrgelb 10838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
253, 18, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
2623, 25bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
2721, 26mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
2816, 18, 5, 20, 27xrltletrd 10676 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
2928adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
30 infmxrlb 10837 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  z )
313, 30sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  z )
32 xrre 10682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  z  e.  RR )  /\  (  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  z ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
3313, 14, 29, 31, 32syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
3412, 33exlimddv 1645 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
35 infmrgelb 9913 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x )
)
3634, 35mpdan 650 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x )
)
379, 36bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
387, 37mpbid 202 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
39 xrletri3 10670 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) ) ) )
405, 18, 39syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) ) ) )
4138, 27, 40mpbir2and 889 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643    C_ wss 3256   (/)c0 3564   class class class wbr 4146   `'ccnv 4810   supcsup 7373   RRcr 8915    -oocmnf 9044   RR*cxr 9045    < clt 9046    <_ cle 9047
This theorem is referenced by:  mbflimsup  19418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219
  Copyright terms: Public domain W3C validator