MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmxrre Structured version   Unicode version

Theorem infmxrre 10907
Description: The real and extended real infima match when the real infimum exists. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
infmxrre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem infmxrre
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
2 ressxr 9122 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3353 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR* )
4 infmxrcl 10888 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
6 xrleid 10736 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )
)
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
8 infmxrgelb 10906 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x )
)
93, 5, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x
) )
10 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  =/=  (/) )
11 n0 3630 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
1210, 11sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. z 
z  e.  A )
135adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
141sselda 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
15 mnfxr 10707 . . . . . . . . . 10  |-  -oo  e.  RR*
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -oo  e.  RR* )
17 infmrcl 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
1817rexrd 9127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )
19 mnflt 10715 . . . . . . . . . 10  |-  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
2117leidd 9586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
22 infmrgelb 9981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
) )
2317, 22mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
) )
24 infmxrgelb 10906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
253, 18, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
2623, 25bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
2721, 26mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
2816, 18, 5, 20, 27xrltletrd 10744 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
2928adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) )
30 infmxrlb 10905 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  z )
313, 30sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  z )
32 xrre 10750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  z  e.  RR )  /\  (  -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  z ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
3313, 14, 29, 31, 32syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
3412, 33exlimddv 1648 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
35 infmrgelb 9981 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x )
)
3634, 35mpdan 650 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. x  e.  A  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  x )
)
379, 36bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) ) )
387, 37mpbid 202 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
39 xrletri3 10738 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) ) ) )
405, 18, 39syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  ) ) ) )
4138, 27, 40mpbir2and 889 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2698   E.wrex 2699    C_ wss 3313   (/)c0 3621   class class class wbr 4205   `'ccnv 4870   supcsup 7438   RRcr 8982    -oocmnf 9111   RR*cxr 9112    < clt 9113    <_ cle 9114
This theorem is referenced by:  mbflimsup  19551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-riota 6542  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287
  Copyright terms: Public domain W3C validator