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Theorem infpnlem1 12973
Description: Lemma for infpn 12975. The smallest divisor (greater than 1)  M of  N !  + 
1 is a prime greater than  N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
infpnlem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  ( N  <  M  /\  A. j  e.  NN  (
( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, N    j, M    j, K

Proof of Theorem infpnlem1
StepHypRef Expression
1 nnre 9769 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
2 nnre 9769 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3 lenlt 8917 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
41, 2, 3syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
6 nnnn0 9988 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
7 facndiv 11317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( ( ( ! `
 N )  +  1 )  /  M
)  e.  ZZ )
8 infpnlem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
98oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  /  M )  =  ( ( ( ! `
 N )  +  1 )  /  M
)
10 nnz 10061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( K  /  M )  e.  ZZ )
119, 10syl5eqelr 2381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  +  1 )  /  M )  e.  ZZ )
127, 11nsyl 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN )
136, 12sylanl1 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( 1  < 
M  /\  M  <_  N ) )  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN )
1413expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( M  <_  N  ->  -.  ( K  /  M )  e.  NN ) )
155, 14sylbird 226 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( -.  N  <  M  ->  -.  ( K  /  M
)  e.  NN ) )
1615con4d 97 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  1  <  M
)  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  N  <  M ) )
1716expimpd 586 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 1  < 
M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  N  <  M
) )
1817adantrd 454 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  N  <  M ) )
19 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
206, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
2120peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  NN )
228, 21syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  NN )
2322nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  CC )
24 nndivtr 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  K  e.  CC )  /\  ( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN ) )  ->  ( K  /  j )  e.  NN )
2524ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  K  e.  CC )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
26253com13 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
27263expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  j )  e.  NN  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( K  /  j )  e.  NN ) )
2823, 27sylanl1 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( M  /  j )  e.  NN  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( K  /  j )  e.  NN ) )
2928adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN )  ->  ( K  / 
j )  e.  NN ) )
30 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
31 letri3 8923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( j  =  M  <-> 
( j  <_  M  /\  M  <_  j ) ) )
3230, 1, 31syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( j  =  M  <-> 
( j  <_  M  /\  M  <_  j ) ) )
3332biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( j  <_  M  /\  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) )
3433exp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( j  <_  M  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) ) ) )
3534com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN  ->  (
j  <_  M  ->  ( j  e.  NN  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) ) ) )
3635imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) )
3736adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  ( M  <_  j  ->  j  =  M ) )
3837imim2d 48 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
3938com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) ) )
4029, 39sylan2d 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( 1  <  j  /\  ( ( M  / 
j )  e.  NN  /\  ( K  /  M
)  e.  NN ) )  ->  ( (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
)  ->  j  =  M ) ) )
4140exp4d 592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
1  <  j  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( ( K  /  M
)  e.  NN  ->  ( ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4241com24 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( j  <_  M  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( K  /  M
)  e.  NN  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( 1  <  j  -> 
( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4342exp32 588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( j  <_  M  ->  ( j  e.  NN  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( 1  <  j  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) ) ) )
4443com24 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( j  e.  NN  ->  ( j  <_  M  ->  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( 1  <  j  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) ) ) )
4544imp31 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
j  <_  M  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( 1  <  j  -> 
( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
4645com14 82 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  j  ->  (
j  <_  M  ->  ( ( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) ) ) )
47463imp 1145 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  j  =  M ) ) )
4847com3l 75 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  (
( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j
)  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
4948ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5049ex 423 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( K  /  M )  e.  NN  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) ) )
5150adantld 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 1  < 
M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  ->  M  <_  j )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) ) )
5251imp3a 420 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
53 prime 10108 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( M  / 
j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5453adantl 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  NN  ( ( M  /  j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  j  <_  M  /\  ( M  /  j )  e.  NN )  ->  j  =  M ) ) )
5552, 54sylibrd 225 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( M  /  j )  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) )
5618, 55jcad 519 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  M  /\  ( K  /  M )  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  M  <_  j
) )  ->  ( N  <  M  /\  A. j  e.  NN  (
( M  /  j
)  e.  NN  ->  ( j  =  1  \/  j  =  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   !cfa 11304
This theorem is referenced by:  infpnlem2  12974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-fac 11305
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