MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpnlem2 Unicode version

Theorem infpnlem2 12958
Description: Lemma for infpn 12959. For any natural number  N, there exists a prime number  j greater than  N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
infpnlem2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, N    j, K, k

Proof of Theorem infpnlem2
StepHypRef Expression
1 infpnlem.1 . . . . 5  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
2 nnnn0 9972 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 faccl 11298 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
54peano2nnd 9763 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  NN )
61, 5syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  NN )
74nnge1d 9788 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  ( ! `  N
) )
8 1nn 9757 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
9 nnleltp1 10071 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  -> 
( 1  <_  ( ! `  N )  <->  1  <  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
108, 4, 9sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  ( ! `  N )  <->  1  <  ( ( ! `  N
)  +  1 ) ) )
117, 10mpbid 201 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
1211, 1syl6breqr 4063 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  K )
13 nncn 9754 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  CC )
14 nnne0 9778 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  =/=  0 )
1513, 14jca 518 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )
16 divid 9451 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  /  K
)  =  1 )
176, 15, 163syl 18 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  /  K )  =  1 )
1817, 8syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  /  K )  e.  NN )
19 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
1  <  j  <->  1  <  K ) )
20 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( K  /  j )  =  ( K  /  K
) )
2120eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( K  /  j
)  e.  NN  <->  ( K  /  K )  e.  NN ) )
2219, 21anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  <-> 
( 1  <  K  /\  ( K  /  K
)  e.  NN ) ) )
2322rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( 1  <  K  /\  ( K  /  K
)  e.  NN ) )  ->  E. j  e.  NN  ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN ) )
246, 12, 18, 23syl12anc 1180 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN ) )
25 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
1  <  j  <->  1  <  k ) )
26 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( K  /  j )  =  ( K  /  k
) )
2726eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( K  /  j
)  e.  NN  <->  ( K  /  k )  e.  NN ) )
2825, 27anbi12d 691 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  <-> 
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN ) ) )
2928nnwos 10286 . . 3  |-  ( E. j  e.  NN  (
1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) ) )
3024, 29syl 15 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) ) )
311infpnlem1 12957 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) )  ->  ( N  <  j  /\  A. k  e.  NN  (
( j  /  k
)  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) ) )
3231reximdva 2655 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. j  e.  NN  ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) )  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) ) )
3330, 32mpd 14 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   !cfa 11288
This theorem is referenced by:  infpn  12959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-fac 11289
  Copyright terms: Public domain W3C validator