MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpnlem2 Unicode version

Theorem infpnlem2 13208
Description: Lemma for infpn 13209. For any natural number  N, there exists a prime number  j greater than  N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
infpnlem2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, N    j, K, k

Proof of Theorem infpnlem2
StepHypRef Expression
1 infpnlem.1 . . . . 5  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
2 nnnn0 10162 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 faccl 11505 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
54peano2nnd 9951 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  NN )
61, 5syl5eqel 2473 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  NN )
74nnge1d 9976 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  ( ! `  N
) )
8 1nn 9945 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
9 nnleltp1 10263 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  -> 
( 1  <_  ( ! `  N )  <->  1  <  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
108, 4, 9sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  ( ! `  N )  <->  1  <  ( ( ! `  N
)  +  1 ) ) )
117, 10mpbid 202 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
1211, 1syl6breqr 4195 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  K )
13 nncn 9942 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  CC )
14 nnne0 9966 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  =/=  0 )
1513, 14jca 519 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )
16 divid 9639 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  /  K
)  =  1 )
176, 15, 163syl 19 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  /  K )  =  1 )
1817, 8syl6eqel 2477 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  /  K )  e.  NN )
19 breq2 4159 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
1  <  j  <->  1  <  K ) )
20 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( K  /  j )  =  ( K  /  K
) )
2120eleq1d 2455 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( K  /  j
)  e.  NN  <->  ( K  /  K )  e.  NN ) )
2219, 21anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  <-> 
( 1  <  K  /\  ( K  /  K
)  e.  NN ) ) )
2322rspcev 2997 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( 1  <  K  /\  ( K  /  K
)  e.  NN ) )  ->  E. j  e.  NN  ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN ) )
246, 12, 18, 23syl12anc 1182 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN ) )
25 breq2 4159 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
1  <  j  <->  1  <  k ) )
26 oveq2 6030 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( K  /  j )  =  ( K  /  k
) )
2726eleq1d 2455 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( K  /  j
)  e.  NN  <->  ( K  /  k )  e.  NN ) )
2825, 27anbi12d 692 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  <-> 
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN ) ) )
2928nnwos 10478 . . 3  |-  ( E. j  e.  NN  (
1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) ) )
3024, 29syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) ) )
311infpnlem1 13207 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) )  ->  ( N  <  j  /\  A. k  e.  NN  (
( j  /  k
)  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) ) )
3231reximdva 2763 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. j  e.  NN  ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) )  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) ) )
3330, 32mpd 15 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    < clt 9055    <_ cle 9056    / cdiv 9611   NNcn 9934   NN0cn0 10155   !cfa 11495
This theorem is referenced by:  infpn  13209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-seq 11253  df-fac 11496
  Copyright terms: Public domain W3C validator