MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem infpnlem2 13271
Description: Lemma for infpn 13272. For any natural number  N, there exists a prime number  j greater than  N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
infpnlem2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, N    j, K, k

Proof of Theorem infpnlem2
StepHypRef Expression
1 infpnlem.1 . . . . 5  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
2 nnnn0 10220 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 faccl 11568 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
54peano2nnd 10009 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  NN )
61, 5syl5eqel 2519 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  NN )
74nnge1d 10034 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  ( ! `  N
) )
8 1nn 10003 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
9 nnleltp1 10321 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  -> 
( 1  <_  ( ! `  N )  <->  1  <  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
108, 4, 9sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  ( ! `  N )  <->  1  <  ( ( ! `  N
)  +  1 ) ) )
117, 10mpbid 202 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
1211, 1syl6breqr 4244 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  K )
13 nncn 10000 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  CC )
14 nnne0 10024 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  =/=  0 )
1513, 14jca 519 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )
16 divid 9697 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  /  K
)  =  1 )
176, 15, 163syl 19 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  /  K )  =  1 )
1817, 8syl6eqel 2523 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  /  K )  e.  NN )
19 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
1  <  j  <->  1  <  K ) )
20 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( K  /  j )  =  ( K  /  K
) )
2120eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( K  /  j
)  e.  NN  <->  ( K  /  K )  e.  NN ) )
2219, 21anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  <-> 
( 1  <  K  /\  ( K  /  K
)  e.  NN ) ) )
2322rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( 1  <  K  /\  ( K  /  K
)  e.  NN ) )  ->  E. j  e.  NN  ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN ) )
246, 12, 18, 23syl12anc 1182 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN ) )
25 breq2 4208 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
1  <  j  <->  1  <  k ) )
26 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( K  /  j )  =  ( K  /  k
) )
2726eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( K  /  j
)  e.  NN  <->  ( K  /  k )  e.  NN ) )
2825, 27anbi12d 692 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  <-> 
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN ) ) )
2928nnwos 10536 . . 3  |-  ( E. j  e.  NN  (
1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) ) )
3024, 29syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) ) )
311infpnlem1 13270 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) )  ->  ( N  <  j  /\  A. k  e.  NN  (
( j  /  k
)  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) ) )
3231reximdva 2810 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. j  e.  NN  ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) )  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) ) )
3330, 32mpd 15 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   NNcn 9992   NN0cn0 10213   !cfa 11558
This theorem is referenced by:  infpn  13272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-fac 11559
  Copyright terms: Public domain W3C validator