Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssr Structured version   Unicode version

Theorem infpssr 8189
 Description: Dedekind infinity implies existence of a denumerable subset: take a single point witnessing the proper subset relation and iterate the embedding. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpssr

Proof of Theorem infpssr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 3694 . . 3
3 eldif 3331 . . . 4
4 pssss 3443 . . . . . 6
5 bren 7118 . . . . . . . 8
6 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
7 f1ofo 5682 . . . . . . . . . . . . 13
8 forn 5657 . . . . . . . . . . . . 13
96, 7, 83syl 19 . . . . . . . . . . . 12
10 vex 2960 . . . . . . . . . . . . 13
1110rnex 5134 . . . . . . . . . . . 12
129, 11syl6eqelr 2526 . . . . . . . . . . 11
13 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12
14 simpll 732 . . . . . . . . . . . 12
15 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12
1613, 6, 14, 15infpssrlem5 8188 . . . . . . . . . . 11
1712, 16mpd 15 . . . . . . . . . 10
1817ex 425 . . . . . . . . 9
1918exlimdv 1647 . . . . . . . 8
205, 19syl5bi 210 . . . . . . 7
2120ex 425 . . . . . 6
224, 21syl5 31 . . . . 5
2322imp3a 422 . . . 4
243, 23sylbir 206 . . 3
2524exlimiv 1645 . 2
262, 25mpcom 35 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2957   cdif 3318   wss 3321   wpss 3322   class class class wbr 4213  com 4846  ccnv 4878   crn 4880   cres 4881  wfo 5453  wf1o 5454  crdg 6668   cen 7107   cdom 7108 This theorem is referenced by:  isfin4-2  8195 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-en 7111  df-dom 7112
 Copyright terms: Public domain W3C validator