MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem1 Unicode version

Theorem infpssrlem1 8147
Description: Lemma for infpssr 8152. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
infpssrlem.c  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
infpssrlem.d  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
infpssrlem.e  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
infpssrlem1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )

Proof of Theorem infpssrlem1
StepHypRef Expression
1 infpssrlem.e . . 3  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
21fveq1i 5696 . 2  |-  ( G `
 (/) )  =  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  (/) )
3 infpssrlem.d . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
4 fr0g 6660 . . 3  |-  ( C  e.  ( A  \  B )  ->  (
( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  (/) )  =  C )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  (/) )  =  C )
62, 5syl5eq 2456 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3285    C_ wss 3288   (/)c0 3596   omcom 4812   `'ccnv 4844    |` cres 4847   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421   reccrdg 6634
This theorem is referenced by:  infpssrlem3  8149  infpssrlem4  8150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-recs 6600  df-rdg 6635
  Copyright terms: Public domain W3C validator