MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem1 Structured version   Unicode version

Theorem infpssrlem1 8188
Description: Lemma for infpssr 8193. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
infpssrlem.c  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
infpssrlem.d  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
infpssrlem.e  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
infpssrlem1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )

Proof of Theorem infpssrlem1
StepHypRef Expression
1 infpssrlem.e . . 3  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
21fveq1i 5732 . 2  |-  ( G `
 (/) )  =  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  (/) )
3 infpssrlem.d . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
4 fr0g 6696 . . 3  |-  ( C  e.  ( A  \  B )  ->  (
( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  (/) )  =  C )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( rec ( `' F ,  C )  |`  om ) `  (/) )  =  C )
62, 5syl5eq 2482 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   omcom 4848   `'ccnv 4880    |` cres 4883   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457   reccrdg 6670
This theorem is referenced by:  infpssrlem3  8190  infpssrlem4  8191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671
  Copyright terms: Public domain W3C validator