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Theorem infpssrlem4 7948
Description: Lemma for infpssr 7950. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
infpssrlem.c  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
infpssrlem.d  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
infpssrlem.e  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
infpssrlem4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om 
/\  N  e.  M
)  ->  ( G `  M )  =/=  ( G `  N )
)

Proof of Theorem infpssrlem4
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( G `
 c )  =  ( G `  (/) ) )
21neeq1d 2472 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( G `  c )  =/=  ( G `  b )  <->  ( G `  (/) )  =/=  ( G `  b )
) )
32raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  ( A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b
)  <->  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `  b
) ) )
43imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c
)  =/=  ( G `
 b ) )  <-> 
( ph  ->  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `
 b ) ) ) )
5 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  d  ->  ( G `  c )  =  ( G `  d ) )
65neeq1d 2472 . . . . . . 7  |-  ( c  =  d  ->  (
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
) )
76raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  ( A. b  e.  c 
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
) )
87imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
( ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b )
)  <->  ( ph  ->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b ) ) ) )
9 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( G `  c
)  =  ( G `
 suc  d )
)
109neeq1d 2472 . . . . . . 7  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( ( G `  c )  =/=  ( G `  b )  <->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 b ) ) )
1110raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b )  <->  A. b  e.  suc  d
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) )
1211imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  d  -> 
( ( ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b ) )  <->  ( ph  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) ) )
13 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  M  ->  ( G `  c )  =  ( G `  M ) )
1413neeq1d 2472 . . . . . . 7  |-  ( c  =  M  ->  (
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  ( G `  M )  =/=  ( G `  b )
) )
1514raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( c  =  M  ->  ( A. b  e.  c 
( G `  c
)  =/=  ( G `
 b )  <->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b )
) )
1615imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( c  =  M  ->  (
( ph  ->  A. b  e.  c  ( G `  c )  =/=  ( G `  b )
)  <->  ( ph  ->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b ) ) ) )
17 ral0 3571 . . . . . 6  |-  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `
 b )
1817a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  (/)  ( G `  (/) )  =/=  ( G `  b
) )
19 infpssrlem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> A )
20 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> B )
21 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : A --> B )
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  `' F : A --> B )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  `' F : A --> B )
24 infpssrlem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
25 infpssrlem.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A 
\  B ) )
26 infpssrlem.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( rec ( `' F ,  C )  |`  om )
2724, 19, 25, 26infpssrlem3 7947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G : om --> A )
28 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : om --> A  /\  d  e.  om )  ->  ( G `  d
)  e.  A )
2927, 28sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  ( G `  d )  e.  A
)
3029ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  d )  e.  A
)
31 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F : A --> B  /\  ( G `  d )  e.  A )  -> 
( `' F `  ( G `  d ) )  e.  B )
3223, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( `' F `  ( G `  d ) )  e.  B )
33 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  ( A  \  B )  ->  -.  C  e.  B )
3425, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  B
)
3534adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  -.  C  e.  B )
36 nelne2 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  ( G `  d ) )  e.  B  /\  -.  C  e.  B
)  ->  ( `' F `  ( G `  d ) )  =/= 
C )
3732, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( `' F `  ( G `  d ) )  =/= 
C )
3824, 19, 25, 26infpssrlem2 7946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  om  ->  ( G `  suc  d )  =  ( `' F `  ( G `  d
) ) )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  d )  =  ( `' F `  ( G `  d ) ) )
4024, 19, 25, 26infpssrlem1 7945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
4140adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  (/) )  =  C )
4237, 39, 413netr4d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  (/) ) )
43423adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  (/) ) )
441neeq2d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c )  <->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  (/) ) ) )
4543, 44syl5ibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) )
4645adantrd 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c ) ) )
47 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  c  e.  suc  d )  ->  c  e.  suc  d )
48 peano2 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  om  /\  c  e.  suc  d )  ->  suc  d  e.  om )
50 elnn 4682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  suc  d  /\  suc  d  e.  om )  ->  c  e.  om )
5147, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  om  /\  c  e.  suc  d )  ->  c  e.  om )
52513ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  c  e.  om )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
c  e.  om )
54 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
c  =/=  (/) )
55 nnsuc 4689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  om  /\  c  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  om  c  =  suc  b )
5653, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  ->  E. b  e.  om  c  =  suc  b )
57 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b  d  e.  om
58 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b
ph
59 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )
6057, 58, 59nf3an 1786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ b ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)
61 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ b  c  e.  suc  d
6260, 61nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ b ( ( d  e. 
om  /\  ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b
) )  /\  c  e.  suc  d )
63 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ b ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
64 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)
65 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  suc  b  e.  suc  d )
66 nnord 4680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d  e.  om  ->  Ord  d )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  Ord  d )
68 ordsucelsuc 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Ord  d  ->  ( b  e.  d  <->  suc  b  e.  suc  d ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  d  <->  suc  b  e. 
suc  d ) )
7065, 69mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  b  e.  suc  d )  ->  b  e.  d )
71703ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  suc  b  e. 
suc  d )  -> 
b  e.  d )
7271adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  b  e.  d )
73 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b
)  ->  ( b  e.  d  ->  ( G `
 d )  =/=  ( G `  b
) ) )
7464, 72, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)
75 f1of1 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : A -1-1-> B
)
7619, 20, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  `' F : A -1-1-> B
)
7776ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  `' F : A -1-1-> B )
7830adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  d )  e.  A )
79 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G : om --> A  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  b
)  e.  A )
8027, 79sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  b )  e.  A
)
8180adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  b )  e.  A )
82 f1fveq 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( `' F : A -1-1-> B  /\  ( ( G `  d )  e.  A  /\  ( G `  b
)  e.  A ) )  ->  ( ( `' F `  ( G `
 d ) )  =  ( `' F `  ( G `  b
) )  <->  ( G `  d )  =  ( G `  b ) ) )
8377, 78, 81, 82syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( `' F `  ( G `  d ) )  =  ( `' F `  ( G `
 b ) )  <-> 
( G `  d
)  =  ( G `
 b ) ) )
8483necon3bid 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) )  <-> 
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) ) )
8584biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )  -> 
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) ) ) )
8638adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( d  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  suc  d )  =  ( `' F `  ( G `
 d ) ) )
8724, 19, 25, 26infpssrlem2 7946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  om  ->  ( G `  suc  b )  =  ( `' F `  ( G `  b
) ) )
8887adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( d  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( G `  suc  b )  =  ( `' F `  ( G `
 b ) ) )
8986, 88neeq12d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b )  <-> 
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) ) ) )
9089adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b )  <-> 
( `' F `  ( G `  d ) )  =/=  ( `' F `  ( G `
 b ) ) ) )
9185, 90sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  b  e.  om )  ->  (
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
9291adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om ) )  ->  (
( G `  d
)  =/=  ( G `
 b )  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
93923adantl3 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  ( ( G `  d )  =/=  ( G `  b
)  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
9474, 93mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  ( suc  b  e.  suc  d  /\  b  e.  om )
)  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) )
9594expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  suc  b  e. 
suc  d )  -> 
( b  e.  om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) )
96 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( c  e.  suc  d 
<->  suc  b  e.  suc  d ) )
9796anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( ( d  e.  om  /\  ph  /\ 
A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  c  e.  suc  d )  <->  ( (
d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  suc  b  e. 
suc  d ) ) )
98 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( G `  c
)  =  ( G `
 suc  b )
)
9998neeq2d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )  <->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 suc  b )
) )
10099imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( b  e. 
om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
)  <->  ( b  e. 
om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) ) )
10197, 100imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  c  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  om  ->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c ) ) )  <->  ( ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  suc  b  e. 
suc  d )  -> 
( b  e.  om  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  suc  b ) ) ) ) )
10295, 101mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  suc  b  -> 
( ( ( d  e.  om  /\  ph  /\ 
A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  /\  c  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  om  ->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c ) ) ) )
103102com3l 75 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  (
b  e.  om  ->  ( c  =  suc  b  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) ) )
10462, 63, 103rexlimd 2677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( E. b  e.  om  c  =  suc  b  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) )
105104adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
( E. b  e. 
om  c  =  suc  b  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
) )
10656, 105mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =/=  (/)  /\  (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d ) )  -> 
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
)
107106ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =/=  (/)  ->  ( (
( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c ) ) )
10846, 107pm2.61ine 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
ph  /\  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  /\  c  e.  suc  d )  ->  ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c ) )
109108ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  A. c  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )
)
110 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  ( G `  c )  =  ( G `  b ) )
111110neeq2d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  b  ->  (
( G `  suc  d )  =/=  ( G `  c )  <->  ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 b ) ) )
112111cbvralv 2777 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  suc  d ( G `  suc  d
)  =/=  ( G `
 c )  <->  A. b  e.  suc  d ( G `
 suc  d )  =/=  ( G `  b
) )
113109, 112sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  om  /\  ph 
/\  A. b  e.  d  ( G `  d
)  =/=  ( G `
 b ) )  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
)
1141133exp 1150 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) ) )
115114a2d 23 . . . . 5  |-  ( d  e.  om  ->  (
( ph  ->  A. b  e.  d  ( G `  d )  =/=  ( G `  b )
)  ->  ( ph  ->  A. b  e.  suc  d ( G `  suc  d )  =/=  ( G `  b )
) ) )
1164, 8, 12, 16, 18, 115finds 4698 . . . 4  |-  ( M  e.  om  ->  ( ph  ->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b ) ) )
117116impcom 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om )  ->  A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b )
)
118 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( b  =  N  ->  ( G `  b )  =  ( G `  N ) )
119118neeq2d 2473 . . . 4  |-  ( b  =  N  ->  (
( G `  M
)  =/=  ( G `
 b )  <->  ( G `  M )  =/=  ( G `  N )
) )
120119rspccv 2894 . . 3  |-  ( A. b  e.  M  ( G `  M )  =/=  ( G `  b
)  ->  ( N  e.  M  ->  ( G `
 M )  =/=  ( G `  N
) ) )
121117, 120syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om )  ->  ( N  e.  M  ->  ( G `
 M )  =/=  ( G `  N
) ) )
1221213impia 1148 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  om 
/\  N  e.  M
)  ->  ( G `  M )  =/=  ( G `  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   Ord word 4407   suc csuc 4410   omcom 4672   `'ccnv 4704    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   reccrdg 6438
This theorem is referenced by:  infpssrlem5  7949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439
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