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Theorem infpwfien 7689
Description: Any infinite well-orderable set is equinumerous to its set of finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpwfien  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~~  A )

Proof of Theorem infpwfien
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpidm2 7644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( A  X.  A
)  ~~  A )
2 infn0 7119 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  =/=  (/) )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  A  =/=  (/) )
4 fseqen 7654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  X.  A
)  ~~  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ~~  ( om  X.  A ) )
51, 3, 4syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A ) )
6 xpdom1g 6959 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( om  X.  A
)  ~<_  ( A  X.  A ) )
7 domentr 6920 . . . . . . 7  |-  ( ( ( om  X.  A
)  ~<_  ( A  X.  A )  /\  ( A  X.  A )  ~~  A )  ->  ( om  X.  A )  ~<_  A )
86, 1, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( om  X.  A
)  ~<_  A )
9 endomtr 6919 . . . . . 6  |-  ( (
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A )  /\  ( om  X.  A )  ~<_  A )  ->  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  ~<_  A )
105, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~<_  A )
11 numdom 7665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  e.  dom  card )
1210, 11syldan 456 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  e.  dom  card )
13 eliun 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  <->  E. n  e.  om  x  e.  ( A  ^m  n ) )
14 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  ^m  n )  ->  x : n --> A )
1514ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  x :
n --> A )
16 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : n --> A  ->  ran  x  C_  A )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  C_  A )
18 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
1918rnex 4942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  x  e.  _V
2019elpw 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  x  e.  ~P A  <->  ran  x  C_  A )
2117, 20sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  e. 
~P A )
22 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  n  e.  om )
23 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  n  C_  n
24 ssnnfi 7082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  n  C_  n )  ->  n  e.  Fin )
2522, 23, 24sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  n  e.  Fin )
26 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : n --> A  ->  x  Fn  n )
27 dffn4 5457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  Fn  n  <->  x :
n -onto-> ran  x )
2826, 27sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : n --> A  ->  x : n -onto-> ran  x
)
2915, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  x :
n -onto-> ran  x )
30 fofi 7142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Fin  /\  x : n -onto-> ran  x
)  ->  ran  x  e. 
Fin )
3125, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  e. 
Fin )
32 elin 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ran  x  e.  ~P A  /\  ran  x  e. 
Fin ) )
3321, 31, 32sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
3433expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  n )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
3534rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( E. n  e. 
om  x  e.  ( A  ^m  n )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
3613, 35syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
3736imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
38 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  =  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)
3937, 38fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x ) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
40 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) --> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  Fn  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4139, 40syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  Fn  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
42 frn 5395 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) --> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  |->  ran  x )  C_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
4339, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )
)
44 inss2 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
45 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
4644, 45sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
47 isfi 6885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  y  ~~  m
)
4846, 47sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. m  e.  om  y  ~~  m )
49 ensym 6910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
~~  m  ->  m  ~~  y )
50 bren 6871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m 
~~  y  <->  E. x  x : m -1-1-onto-> y )
5149, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
~~  m  ->  E. x  x : m -1-1-onto-> y )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  m  e.  om )
53 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x : m -1-1-onto-> y  ->  x : m --> y )
5453ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x : m --> y )
55 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
56 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
5755, 56sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  e.  ~P A
)
58 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
y  C_  A )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  C_  A )
60 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x : m --> y  /\  y  C_  A )  ->  x : m --> A )
6154, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x : m --> A )
62 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  A  e.  dom  card )
63 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  m  e. 
_V
64 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  m  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
x : m --> A ) )
6562, 63, 64sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
( x  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
x : m --> A ) )
6661, 65mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x  e.  ( A  ^m  m ) )
67 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  m
) )
6867eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  ( A  ^m  n )  <->  x  e.  ( A  ^m  m
) ) )
6968rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  m ) )  ->  E. n  e.  om  x  e.  ( A  ^m  n ) )
7052, 66, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  E. n  e.  om  x  e.  ( A  ^m  n ) )
7170, 13sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
72 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x : m -1-1-onto-> y  ->  x : m -onto-> y )
7372ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x : m -onto-> y )
74 forn 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x : m -onto-> y  ->  ran  x  =  y )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  ran  x  =  y )
7675eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  =  ran  x
)
7771, 76jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
7877expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  m  e.  om )  ->  (
x : m -1-1-onto-> y  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
7978eximdv 1608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  m  e.  om )  ->  ( E. x  x :
m
-1-1-onto-> y  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
8051, 79syl5 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  m  e.  om )  ->  (
y  ~~  m  ->  E. x ( x  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  y  =  ran  x ) ) )
8180rexlimdva 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( E. m  e.  om  y  ~~  m  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
8248, 81mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
8382ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
84 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
8538elrnmpt 4926 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  <->  E. x  e.  U_  n  e.  om  ( A  ^m  n ) y  =  ran  x ) )
8684, 85ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  <->  E. x  e.  U_  n  e.  om  ( A  ^m  n ) y  =  ran  x )
87 df-rex 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  U_  n  e.  om  ( A  ^m  n ) y  =  ran  x  <->  E. x
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
8886, 87bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  <->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
8983, 88syl6ibr 218 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) ) )
9089ssrdv 3185 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  C_  ran  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) )
9143, 90eqssd 3196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
92 df-fo 5261 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  Fn  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
9341, 91, 92sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x ) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
94 fodomnum 7684 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e. 
dom  card  ->  ( (
x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) ) )
9512, 93, 94sylc 56 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
96 domtr 6914 . . 3  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  ~<_  A )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  A )
9795, 10, 96syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  A )
98 pwexg 4194 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ~P A  e.  _V )
9998adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  ~P A  e.  _V )
100 inex1g 4157 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
10199, 100syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
102 infpwfidom 7655 . . 3  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  ->  A  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
103101, 102syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  A  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
104 sbth 6981 . 2  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  A  /\  A  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~~  A )
10597, 103, 104syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~~  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  inffien  7690  isnumbasgrplem3  27270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575
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