MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpwfien Unicode version

Theorem infpwfien 7705
Description: Any infinite well-orderable set is equinumerous to its set of finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpwfien  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~~  A )

Proof of Theorem infpwfien
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpidm2 7660 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( A  X.  A
)  ~~  A )
2 infn0 7135 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  =/=  (/) )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  A  =/=  (/) )
4 fseqen 7670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  X.  A
)  ~~  A  /\  A  =/=  (/) )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ~~  ( om  X.  A ) )
51, 3, 4syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A ) )
6 xpdom1g 6975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( om  X.  A
)  ~<_  ( A  X.  A ) )
7 domentr 6936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( om  X.  A
)  ~<_  ( A  X.  A )  /\  ( A  X.  A )  ~~  A )  ->  ( om  X.  A )  ~<_  A )
86, 1, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( om  X.  A
)  ~<_  A )
9 endomtr 6935 . . . . . 6  |-  ( (
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~~  ( om  X.  A )  /\  ( om  X.  A )  ~<_  A )  ->  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  ~<_  A )
105, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~<_  A )
11 numdom 7681 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  e.  dom  card )
1210, 11syldan 456 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  e.  dom  card )
13 eliun 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  <->  E. n  e.  om  x  e.  ( A  ^m  n ) )
14 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  ^m  n )  ->  x : n --> A )
1514ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  x :
n --> A )
16 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : n --> A  ->  ran  x  C_  A )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  C_  A )
18 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
1918rnex 4958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  x  e.  _V
2019elpw 3644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  x  e.  ~P A  <->  ran  x  C_  A )
2117, 20sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  e. 
~P A )
22 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  n  e.  om )
23 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  n  C_  n
24 ssnnfi 7098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  n  C_  n )  ->  n  e.  Fin )
2522, 23, 24sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  n  e.  Fin )
26 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : n --> A  ->  x  Fn  n )
27 dffn4 5473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  Fn  n  <->  x :
n -onto-> ran  x )
2826, 27sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : n --> A  ->  x : n -onto-> ran  x
)
2915, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  x :
n -onto-> ran  x )
30 fofi 7158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Fin  /\  x : n -onto-> ran  x
)  ->  ran  x  e. 
Fin )
3125, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  e. 
Fin )
32 elin 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ran  x  e.  ~P A  /\  ran  x  e. 
Fin ) )
3321, 31, 32sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  ( n  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  n ) ) )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
3433expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  n )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
3534rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( E. n  e. 
om  x  e.  ( A  ^m  n )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
3613, 35syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
3736imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )  ->  ran  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
38 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  =  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)
3937, 38fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x ) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
40 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) --> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  Fn  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4139, 40syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  Fn  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
42 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) --> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  |->  ran  x )  C_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
4339, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )
)
44 inss2 3403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
45 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
4644, 45sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
47 isfi 6901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  y  ~~  m
)
4846, 47sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. m  e.  om  y  ~~  m )
49 ensym 6926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
~~  m  ->  m  ~~  y )
50 bren 6887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m 
~~  y  <->  E. x  x : m -1-1-onto-> y )
5149, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
~~  m  ->  E. x  x : m -1-1-onto-> y )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  m  e.  om )
53 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x : m -1-1-onto-> y  ->  x : m --> y )
5453ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x : m --> y )
55 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
56 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
5755, 56sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  e.  ~P A
)
58 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
y  C_  A )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  C_  A )
60 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x : m --> y  /\  y  C_  A )  ->  x : m --> A )
6154, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x : m --> A )
62 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  A  e.  dom  card )
63 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  m  e. 
_V
64 elmapg 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  m  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
x : m --> A ) )
6562, 63, 64sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
( x  e.  ( A  ^m  m )  <-> 
x : m --> A ) )
6661, 65mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x  e.  ( A  ^m  m ) )
67 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  m
) )
6867eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  ( A  ^m  n )  <->  x  e.  ( A  ^m  m
) ) )
6968rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  e.  ( A  ^m  m ) )  ->  E. n  e.  om  x  e.  ( A  ^m  n ) )
7052, 66, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  E. n  e.  om  x  e.  ( A  ^m  n ) )
7170, 13sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
72 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x : m -1-1-onto-> y  ->  x : m -onto-> y )
7372ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  x : m -onto-> y )
74 forn 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x : m -onto-> y  ->  ran  x  =  y )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  ->  ran  x  =  y )
7675eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
y  =  ran  x
)
7771, 76jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
m  e.  om  /\  x : m -1-1-onto-> y ) )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
7877expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  m  e.  om )  ->  (
x : m -1-1-onto-> y  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
7978eximdv 1612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  m  e.  om )  ->  ( E. x  x :
m
-1-1-onto-> y  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
8051, 79syl5 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  m  e.  om )  ->  (
y  ~~  m  ->  E. x ( x  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  y  =  ran  x ) ) )
8180rexlimdva 2680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( E. m  e.  om  y  ~~  m  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
8248, 81mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  card  /\  om  ~<_  A )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
8382ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) ) )
84 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
8538elrnmpt 4942 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  <->  E. x  e.  U_  n  e.  om  ( A  ^m  n ) y  =  ran  x ) )
8684, 85ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  <->  E. x  e.  U_  n  e.  om  ( A  ^m  n ) y  =  ran  x )
87 df-rex 2562 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  U_  n  e.  om  ( A  ^m  n ) y  =  ran  x  <->  E. x
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
8886, 87bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
)  <->  E. x ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  /\  y  =  ran  x ) )
8983, 88syl6ibr 218 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) ) )
9089ssrdv 3198 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  C_  ran  ( x  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) )
9143, 90eqssd 3209 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
92 df-fo 5277 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  Fn  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  ran  ( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
9341, 91, 92sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x ) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
94 fodomnum 7700 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e. 
dom  card  ->  ( (
x  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  |->  ran  x
) : U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) ) )
9512, 93, 94sylc 56 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
96 domtr 6930 . . 3  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  ~<_  A )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  A )
9795, 10, 96syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  A )
98 pwexg 4210 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ~P A  e.  _V )
9998adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  ~P A  e.  _V )
100 inex1g 4173 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
10199, 100syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
102 infpwfidom 7671 . . 3  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  ->  A  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
103101, 102syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  ->  A  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
104 sbth 6997 . 2  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  A  /\  A  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~~  A )
10597, 103, 104syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~~  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   omcom 4672    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  inffien  7706  isnumbasgrplem3  27373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591
  Copyright terms: Public domain W3C validator