Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infrglb Unicode version

Theorem infrglb 27722
Description: The infimum of a non-empty bounded set of reals is the greatest lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
infrglb  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  < 
B  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem infrglb
StepHypRef Expression
1 ltso 8903 . . . . 5  |-  <  Or  RR
2 cnvso 5214 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
31, 2mpbi 199 . . . 4  |-  `'  <  Or  RR
43a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  `'  <  Or  RR )
5 infm3 9713 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
6 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ x  A  C_  RR
7 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ x  A  =/=  (/)
8 nfre1 2599 . . . . . 6  |-  F/ x E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
96, 7, 8nf3an 1774 . . . . 5  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )
10 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  A  C_  RR
11 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  A  =/=  (/)
12 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y RR
13 nfra1 2593 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  A  x  <_  y
1412, 13nfrex 2598 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
1510, 11, 14nf3an 1774 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )
16 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  RR
1715, 16nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )
18 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
19 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2018, 19pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
21 brcnvg 4862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x `'  <  y  <-> 
y  <  x )
)
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
2322biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'  <  y  ->  y  <  x )
2423con3i 127 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  <  x  ->  -.  x `'  <  y
)
2524a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  <  x  ->  -.  x `'  <  y
) )
2617, 25ralimdaa 2620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  ->  A. y  e.  A  -.  x `'  <  y
) )
2719, 18brcnv 4864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
2827biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `'  <  x  ->  x  <  y )
2928a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
y `'  <  x  ->  x  <  y ) )
30 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
3119, 30pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )
32 brcnvg 4862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( y `'  <  z  <-> 
z  <  y )
)
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
3433biimpri 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  <  y  ->  y `'  <  z )
3534a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
z  <  y  ->  y `'  <  z ) )
3635reximdv 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
3729, 36imim12d 68 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3917, 38ralimdaa 2620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
4026, 39anim12d 546 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
4140ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( x  e.  RR  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) ) )
429, 41reximdai 2651 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
435, 42mpd 14 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
44 simp1 955 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  A  C_  RR )
454, 43, 44suplub2 7212 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  E. z  e.  A  B `'  <  z ) )
46 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
47 infmrcl 9733 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4847adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4946, 48jca 518 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR ) )
50 brcnvg 4862 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
5149, 50syl 15 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B `'  <  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  <  B
) )
5230jctr 526 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  /\  z  e.  _V ) )
53 brcnvg 4862 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  _V )  ->  ( B `'  <  z  <-> 
z  <  B )
)
5452, 53syl 15 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B `'  <  z  <->  z  <  B ) )
5554rexbidv 2564 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  ( E. z  e.  A  B `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
5646, 55syl 15 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  B `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
5745, 51, 563bitr3d 274 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  < 
B  <->  E. z  e.  A  z  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    Or wor 4313   `'ccnv 4688   supcsup 7193   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  climinf  27732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator