Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxp Unicode version

Theorem infxp 7841
 Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxp

Proof of Theorem infxp
StepHypRef Expression
1 sdomdom 6889 . . 3
2 infxpabs 7838 . . . . . 6
3 infunabs 7833 . . . . . . . . 9
433expa 1151 . . . . . . . 8
54adantrl 696 . . . . . . 7
6 ensym 6910 . . . . . . 7
75, 6syl 15 . . . . . 6
8 entr 6913 . . . . . 6
92, 7, 8syl2anc 642 . . . . 5
109expr 598 . . . 4
121, 11syl5 28 . 2
13 domtri2 7622 . . . 4
15 xpcomeng 6954 . . . . . . 7
1615ad2ant2r 727 . . . . . 6
1716adantr 451 . . . . 5
18 simplrl 736 . . . . . . 7
19 simplr 731 . . . . . . . 8
20 domtr 6914 . . . . . . . 8
2119, 20sylan 457 . . . . . . 7
22 infn0 7119 . . . . . . . . 9
2322ad2antlr 707 . . . . . . . 8
2423adantr 451 . . . . . . 7
25 simpr 447 . . . . . . 7
26 infxpabs 7838 . . . . . . 7
2718, 21, 24, 25, 26syl22anc 1183 . . . . . 6
28 uncom 3319 . . . . . . . 8
29 infunabs 7833 . . . . . . . . 9
3018, 21, 25, 29syl3anc 1182 . . . . . . . 8
3128, 30syl5eqbr 4056 . . . . . . 7
32 ensym 6910 . . . . . . 7
3331, 32syl 15 . . . . . 6
34 entr 6913 . . . . . 6
3527, 33, 34syl2anc 642 . . . . 5
36 entr 6913 . . . . 5
3717, 35, 36syl2anc 642 . . . 4
3837ex 423 . . 3
3914, 38sylbird 226 . 2
4012, 39pm2.61d 150 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wcel 1684   wne 2446   cun 3150  c0 3455   class class class wbr 4023  com 4656   cxp 4687   cdm 4689   cen 6860   cdom 6861   csdm 6862  ccrd 7568 This theorem is referenced by:  alephmul  8200  infxpg  25095 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794
 Copyright terms: Public domain W3C validator