Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpenc Structured version   Unicode version

Theorem infxpenc 7901
 Description: A canonical version of infxpen 7898, by a completely different approach (although it uses infxpen 7898 via xpomen 7899). Using Cantor's normal form, we can show that respects equinumerosity (oef1o 7657), so that all the steps of can be verified using bijections to do the ordinal commutations. (The assumption on can be satisfied using cnfcom3c 7665.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc.1
infxpenc.2
infxpenc.3
infxpenc.4
infxpenc.5
infxpenc.6
infxpenc.k
infxpenc.h CNF CNF
infxpenc.l
infxpenc.x
infxpenc.y
infxpenc.j CNF CNF
infxpenc.z
infxpenc.t
infxpenc.g
Assertion
Ref Expression
infxpenc
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,,)   (,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,)   (,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem infxpenc
StepHypRef Expression
1 infxpenc.6 . . . 4
2 f1ocnv 5689 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 infxpenc.4 . . . . . . . 8
5 f1oi 5715 . . . . . . . . 9
65a1i 11 . . . . . . . 8
7 omelon 7603 . . . . . . . . . . 11
87a1i 11 . . . . . . . . . 10
9 2on 6734 . . . . . . . . . 10
10 oecl 6783 . . . . . . . . . 10
118, 9, 10sylancl 645 . . . . . . . . 9
129a1i 11 . . . . . . . . . 10
13 peano1 4866 . . . . . . . . . . 11
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10
15 oen0 6831 . . . . . . . . . 10
168, 12, 14, 15syl21anc 1184 . . . . . . . . 9
17 ondif1 6747 . . . . . . . . 9
1811, 16, 17sylanbrc 647 . . . . . . . 8
19 infxpenc.3 . . . . . . . . 9
2019eldifad 3334 . . . . . . . 8
21 infxpenc.5 . . . . . . . 8
22 infxpenc.k . . . . . . . 8
23 infxpenc.h . . . . . . . 8 CNF CNF
244, 6, 18, 20, 8, 20, 21, 22, 23oef1o 7657 . . . . . . 7
25 f1oi 5715 . . . . . . . . . 10
2625a1i 11 . . . . . . . . 9
27 infxpenc.x . . . . . . . . . . 11
28 infxpenc.y . . . . . . . . . . 11
2927, 28omf1o 7213 . . . . . . . . . 10
3020, 9, 29sylancl 645 . . . . . . . . 9
31 ondif1 6747 . . . . . . . . . . 11
327, 13, 31mpbir2an 888 . . . . . . . . . 10
3332a1i 11 . . . . . . . . 9
34 omcl 6782 . . . . . . . . . 10
3520, 9, 34sylancl 645 . . . . . . . . 9
36 omcl 6782 . . . . . . . . . 10
3712, 20, 36syl2anc 644 . . . . . . . . 9
38 fvresi 5926 . . . . . . . . . 10
3913, 38mp1i 12 . . . . . . . . 9
40 infxpenc.l . . . . . . . . 9
41 infxpenc.j . . . . . . . . 9 CNF CNF
4226, 30, 33, 35, 8, 37, 39, 40, 41oef1o 7657 . . . . . . . 8
43 oeoe 6844 . . . . . . . . . 10
448, 12, 20, 43syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
45 f1oeq3 5669 . . . . . . . . 9
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8
4742, 46mpbird 225 . . . . . . 7
48 f1oco 5700 . . . . . . 7
4924, 47, 48syl2anc 644 . . . . . 6
50 df-2o 6727 . . . . . . . . . . . 12
5150oveq2i 6094 . . . . . . . . . . 11
52 1on 6733 . . . . . . . . . . . 12
53 omsuc 6772 . . . . . . . . . . . 12
5420, 52, 53sylancl 645 . . . . . . . . . . 11
5551, 54syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10
56 om1 6787 . . . . . . . . . . . 12
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11
5857oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10
5955, 58eqtrd 2470 . . . . . . . . 9
6059oveq2d 6099 . . . . . . . 8
61 oeoa 6842 . . . . . . . . 9
628, 20, 20, 61syl3anc 1185 . . . . . . . 8
6360, 62eqtrd 2470 . . . . . . 7
64 f1oeq2 5668 . . . . . . 7
6563, 64syl 16 . . . . . 6
6649, 65mpbid 203 . . . . 5
67 oecl 6783 . . . . . . 7
688, 20, 67syl2anc 644 . . . . . 6
69 infxpenc.z . . . . . . 7
7069omxpenlem 7211 . . . . . 6
7168, 68, 70syl2anc 644 . . . . 5
72 f1oco 5700 . . . . 5
7366, 71, 72syl2anc 644 . . . 4
74 f1of 5676 . . . . . . . . . 10
751, 74syl 16 . . . . . . . . 9
7675feqmptd 5781 . . . . . . . 8
77 f1oeq1 5667 . . . . . . . 8
7876, 77syl 16 . . . . . . 7
791, 78mpbid 203 . . . . . 6
8075feqmptd 5781 . . . . . . . 8
81 f1oeq1 5667 . . . . . . . 8
8280, 81syl 16 . . . . . . 7
831, 82mpbid 203 . . . . . 6
8479, 83xpf1o 7271 . . . . 5
85 infxpenc.t . . . . . 6
86 f1oeq1 5667 . . . . . 6
8785, 86ax-mp 8 . . . . 5
8884, 87sylibr 205 . . . 4
89 f1oco 5700 . . . 4
9073, 88, 89syl2anc 644 . . 3
91 f1oco 5700 . . 3
923, 90, 91syl2anc 644 . 2
93 infxpenc.g . . 3
94 f1oeq1 5667 . . 3
9593, 94ax-mp 8 . 2
9692, 95sylibr 205 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1726  crab 2711  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  c0 3630  cop 3819   cmpt 4268   cid 4495  con0 4583   csuc 4585  com 4847   cxp 4878  ccnv 4879   cres 4882  cima 4883   ccom 4884  wf 5452  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1o 6719  c2o 6720   coa 6723   comu 6724   coe 6725   cmap 7020  cfn 7111   CNF ccnf 7618 This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  7903 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-oexp 6732  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-cnf 7619
 Copyright terms: Public domain W3C validator