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Theorem infxpenc 7901
Description: A canonical version of infxpen 7898, by a completely different approach (although it uses infxpen 7898 via xpomen 7899). Using Cantor's normal form, we can show that  A  ^o  B respects equinumerosity (oef1o 7657), so that all the steps of  ( om ^ W
)  x.  ( om
^ W )  ~~  om
^ ( 2 W )  ~~  ( om ^
2 ) ^ W  ~~  om ^ W can be verified using bijections to do the ordinal commutations. (The assumption on  N can be satisfied using cnfcom3c 7665.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc.2  |-  ( ph  ->  om  C_  A )
infxpenc.3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
infxpenc.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
infxpenc.6  |-  ( ph  ->  N : A -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
infxpenc.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
infxpenc.h  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
infxpenc.l  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
infxpenc.x  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
infxpenc.y  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
infxpenc.j  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
infxpenc.z  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
infxpenc.t  |-  T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
)
infxpenc.g  |-  G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc  |-  ( ph  ->  G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, N, y    ph, x, y   
x, w, y, z, W    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    A( z, w)    T( x, y, z, w)    F( z, w)    G( x, y, z, w)    H( x, y, z, w)    J( x, y, z, w)    K( x, y, z, w)    L( x, y, z, w)    N( z, w)    X( z, w)    Y( z, w)    Z( x, y, z, w)

Proof of Theorem infxpenc
StepHypRef Expression
1 infxpenc.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  N : A -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
2 f1ocnv 5689 . . . 4  |-  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  `' N : ( om  ^o  W ) -1-1-onto-> A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' N : ( om 
^o  W ) -1-1-onto-> A )
4 infxpenc.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
5 f1oi 5715 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  W ) : W -1-1-onto-> W
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  W ) : W -1-1-onto-> W )
7 omelon 7603 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
9 2on 6734 . . . . . . . . . 10  |-  2o  e.  On
10 oecl 6783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( om  ^o  2o )  e.  On )
118, 9, 10sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  2o )  e.  On )
129a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
13 peano1 4866 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  om
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
15 oen0 6831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
168, 12, 14, 15syl21anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
17 ondif1 6747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  ^o  2o )  e.  ( On  \  1o )  <->  ( ( om 
^o  2o )  e.  On  /\  (/)  e.  ( om  ^o  2o ) ) )
1811, 16, 17sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  2o )  e.  ( On  \  1o ) )
19 infxpenc.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
2019eldifad 3334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
21 infxpenc.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
22 infxpenc.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
23 infxpenc.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
244, 6, 18, 20, 8, 20, 21, 22, 23oef1o 7657 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
25 f1oi 5715 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  om ) : om -1-1-onto-> om
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  om ) : om -1-1-onto-> om )
27 infxpenc.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
28 infxpenc.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
2927, 28omf1o 7213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( Y  o.  `' X ) : ( W  .o  2o ) -1-1-onto-> ( 2o  .o  W ) )
3020, 9, 29sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  o.  `' X ) : ( W  .o  2o ) -1-1-onto-> ( 2o  .o  W ) )
31 ondif1 6747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om  e.  ( On  \  1o )  <->  ( om  e.  On  /\  (/)  e.  om )
)
327, 13, 31mpbir2an 888 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  ( On  \  1o )
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  e.  ( On 
\  1o ) )
34 omcl 6782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( W  .o  2o )  e.  On )
3520, 9, 34sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  e.  On )
36 omcl 6782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( 2o  .o  W
)  e.  On )
3712, 20, 36syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2o  .o  W
)  e.  On )
38 fvresi 5926 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( (  _I  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
3913, 38mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
40 infxpenc.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
41 infxpenc.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
4226, 30, 33, 35, 8, 37, 39, 40, 41oef1o 7657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) ) )
43 oeoe 6844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  (
( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) ) )
448, 12, 20, 43syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W
) ) )
45 f1oeq3 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) )  ->  ( J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  <->  J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o 
.o  W ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  <->  J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o 
.o  W ) ) ) )
4742, 46mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) )
48 f1oco 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( H : ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  J : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) )  ->  ( H  o.  J ) : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
4924, 47, 48syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  o.  J
) : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
50 df-2o 6727 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  suc  1o
5150oveq2i 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  .o  2o )  =  ( W  .o  suc  1o )
52 1on 6733 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
53 omsuc 6772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( W  .o  suc  1o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
5420, 52, 53sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  .o  suc  1o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
5551, 54syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
56 om1 6787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  On  ->  ( W  .o  1o )  =  W )
5720, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  .o  1o )  =  W )
5857oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( W  .o  1o )  +o  W
)  =  ( W  +o  W ) )
5955, 58eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  =  ( W  +o  W ) )
6059oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( om  ^o  ( W  +o  W
) ) )
61 oeoa 6842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  ( W  +o  W ) )  =  ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
628, 20, 20, 61syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  +o  W ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) ) )
6360, 62eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) ) )
64 f1oeq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) )  ->  (
( H  o.  J
) : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( H  o.  J ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
6563, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  J ) : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <-> 
( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) ) )
6649, 65mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
67 oecl 6783 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
688, 20, 67syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
69 infxpenc.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
7069omxpenlem 7211 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  e.  On  /\  ( om  ^o  W )  e.  On )  ->  Z : ( ( om 
^o  W )  X.  ( om  ^o  W
) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
7168, 68, 70syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
72 f1oco 5700 . . . . 5  |-  ( ( ( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  Z : ( ( om 
^o  W )  X.  ( om  ^o  W
) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )  ->  ( ( H  o.  J )  o.  Z ) : ( ( om  ^o  W
)  X.  ( om 
^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
7366, 71, 72syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  J )  o.  Z
) : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
74 f1of 5676 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  N : A
--> ( om  ^o  W
) )
751, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N : A --> ( om 
^o  W ) )
7675feqmptd 5781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) )
77 f1oeq1 5667 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( x  e.  A  |->  ( N `  x ) )  -> 
( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
791, 78mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( N `  x
) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
8075feqmptd 5781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) )
81 f1oeq1 5667 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( y  e.  A  |->  ( N `  y ) )  -> 
( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
831, 82mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( N `  y
) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
8479, 83xpf1o 7271 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
85 infxpenc.t . . . . . 6  |-  T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
)
86 f1oeq1 5667 . . . . . 6  |-  ( T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  <. ( N `  x ) ,  ( N `  y )
>. )  ->  ( T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) )  <-> 
( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) ) )
8785, 86ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) )  <-> 
( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
8884, 87sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
89 f1oco 5700 . . . 4  |-  ( ( ( ( H  o.  J )  o.  Z
) : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )  ->  ( (
( H  o.  J
)  o.  Z )  o.  T ) : ( A  X.  A
)
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
9073, 88, 89syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
91 f1oco 5700 . . 3  |-  ( ( `' N : ( om 
^o  W ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )  ->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
923, 90, 91syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
93 infxpenc.g . . 3  |-  G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
94 f1oeq1 5667 . . 3  |-  ( G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )  ->  ( G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  <->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A ) )
9593, 94ax-mp 8 . 2  |-  ( G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  <->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
9692, 95sylibr 205 1  |-  ( ph  ->  G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   <.cop 3819    e. cmpt 4268    _I cid 4495   Oncon0 4583   suc csuc 4585   omcom 4847    X. cxp 4878   `'ccnv 4879    |` cres 4882   "cima 4883    o. ccom 4884   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   1oc1o 6719   2oc2o 6720    +o coa 6723    .o comu 6724    ^o coe 6725    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   CNF ccnf 7618
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  7903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-oexp 6732  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-cnf 7619
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