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Theorem infxpenc 7645
Description: A canonical version of infxpen 7642, by a completely different approach (although it uses infxpen 7642 via xpomen 7643). Using Cantor's normal form, we can show that  A  ^o  B respects equinumerosity (oef1o 7401), so that all the steps of  ( om ^ W
)  x.  ( om
^ W )  ~~  om
^ ( 2 W )  ~~  ( om ^
2 ) ^ W  ~~  om ^ W can be verified using bijections to do the ordinal commutations. (The assumption on  N can be satisfied using cnfcom3c 7409.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc.2  |-  ( ph  ->  om  C_  A )
infxpenc.3  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
infxpenc.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
infxpenc.6  |-  ( ph  ->  N : A -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
infxpenc.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
infxpenc.h  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
infxpenc.l  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
infxpenc.x  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
infxpenc.y  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
infxpenc.j  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
infxpenc.z  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
infxpenc.t  |-  T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
)
infxpenc.g  |-  G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc  |-  ( ph  ->  G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, N, y    ph, x, y   
x, w, y, z, W    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    A( z, w)    T( x, y, z, w)    F( z, w)    G( x, y, z, w)    H( x, y, z, w)    J( x, y, z, w)    K( x, y, z, w)    L( x, y, z, w)    N( z, w)    X( z, w)    Y( z, w)    Z( x, y, z, w)

Proof of Theorem infxpenc
StepHypRef Expression
1 infxpenc.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  N : A -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
2 f1ocnv 5485 . . . 4  |-  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  `' N : ( om  ^o  W ) -1-1-onto-> A )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  `' N : ( om 
^o  W ) -1-1-onto-> A )
4 infxpenc.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
5 f1oi 5511 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  W ) : W -1-1-onto-> W
65a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  W ) : W -1-1-onto-> W )
7 omelon 7347 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
87a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
9 2on 6487 . . . . . . . . . 10  |-  2o  e.  On
10 oecl 6536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( om  ^o  2o )  e.  On )
118, 9, 10sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  2o )  e.  On )
129a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
13 peano1 4675 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  om
1413a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
15 oen0 6584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
168, 12, 14, 15syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
17 ondif1 6500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  ^o  2o )  e.  ( On  \  1o )  <->  ( ( om 
^o  2o )  e.  On  /\  (/)  e.  ( om  ^o  2o ) ) )
1811, 16, 17sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  2o )  e.  ( On  \  1o ) )
19 infxpenc.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
20 eldifi 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  ->  W  e.  On )
2119, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
22 infxpenc.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
23 infxpenc.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
24 infxpenc.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
254, 6, 18, 21, 8, 21, 22, 23, 24oef1o 7401 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
26 f1oi 5511 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  om ) : om -1-1-onto-> om
2726a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  om ) : om -1-1-onto-> om )
28 infxpenc.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
29 infxpenc.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
3028, 29omf1o 6965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( Y  o.  `' X ) : ( W  .o  2o ) -1-1-onto-> ( 2o  .o  W ) )
3121, 9, 30sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  o.  `' X ) : ( W  .o  2o ) -1-1-onto-> ( 2o  .o  W ) )
32 ondif1 6500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om  e.  ( On  \  1o )  <->  ( om  e.  On  /\  (/)  e.  om )
)
337, 13, 32mpbir2an 886 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  ( On  \  1o )
3433a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  e.  ( On 
\  1o ) )
35 omcl 6535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( W  .o  2o )  e.  On )
3621, 9, 35sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  e.  On )
37 omcl 6535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2o  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( 2o  .o  W
)  e.  On )
3812, 21, 37syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2o  .o  W
)  e.  On )
39 fvresi 5711 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( (  _I  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
4013, 39mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
41 infxpenc.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
42 infxpenc.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
4327, 31, 34, 36, 8, 38, 40, 41, 42oef1o 7401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) ) )
44 oeoe 6597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  (
( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) ) )
458, 12, 21, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W
) ) )
46 f1oeq3 5465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  =  ( om  ^o  ( 2o  .o  W ) )  ->  ( J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  <->  J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o 
.o  W ) ) ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W )  <->  J :
( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  ( 2o 
.o  W ) ) ) )
4843, 47mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) )
49 f1oco 5496 . . . . . . 7  |-  ( ( H : ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  J : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  2o )  ^o  W ) )  ->  ( H  o.  J ) : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
5025, 48, 49syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  o.  J
) : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
51 df-2o 6480 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  suc  1o
5251oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  .o  2o )  =  ( W  .o  suc  1o )
53 1on 6486 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
54 omsuc 6525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( W  .o  suc  1o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
5521, 53, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  .o  suc  1o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
5652, 55syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  =  ( ( W  .o  1o )  +o  W ) )
57 om1 6540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  On  ->  ( W  .o  1o )  =  W )
5821, 57syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  .o  1o )  =  W )
5958oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( W  .o  1o )  +o  W
)  =  ( W  +o  W ) )
6056, 59eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  .o  2o )  =  ( W  +o  W ) )
6160oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( om  ^o  ( W  +o  W
) ) )
62 oeoa 6595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  ( W  +o  W ) )  =  ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
638, 21, 21, 62syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  +o  W ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) ) )
6461, 63eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) ) )
65 f1oeq2 5464 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  ( W  .o  2o ) )  =  ( ( om 
^o  W )  .o  ( om  ^o  W
) )  ->  (
( H  o.  J
) : ( om 
^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( H  o.  J ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
6664, 65syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  J ) : ( om  ^o  ( W  .o  2o ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <-> 
( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) ) )
6750, 66mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
68 oecl 6536 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
698, 21, 68syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
70 infxpenc.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
7170omxpenlem 6963 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  e.  On  /\  ( om  ^o  W )  e.  On )  ->  Z : ( ( om 
^o  W )  X.  ( om  ^o  W
) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
7269, 69, 71syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )
73 f1oco 5496 . . . . 5  |-  ( ( ( H  o.  J
) : ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  Z : ( ( om 
^o  W )  X.  ( om  ^o  W
) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( om  ^o  W ) ) )  ->  ( ( H  o.  J )  o.  Z ) : ( ( om  ^o  W
)  X.  ( om 
^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
7467, 72, 73syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H  o.  J )  o.  Z
) : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
75 f1of 5472 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  N : A
--> ( om  ^o  W
) )
761, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N : A --> ( om 
^o  W ) )
7776feqmptd 5575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) )
78 f1oeq1 5463 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( x  e.  A  |->  ( N `  x ) )  -> 
( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
7977, 78syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( x  e.  A  |->  ( N `
 x ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
801, 79mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( N `  x
) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
8176feqmptd 5575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) )
82 f1oeq1 5463 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( y  e.  A  |->  ( N `  y ) )  -> 
( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
8381, 82syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( y  e.  A  |->  ( N `
 y ) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
841, 83mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( N `  y
) ) : A -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
8580, 84xpf1o 7023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
86 infxpenc.t . . . . . 6  |-  T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
)
87 f1oeq1 5463 . . . . . 6  |-  ( T  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  <. ( N `  x ) ,  ( N `  y )
>. )  ->  ( T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) )  <-> 
( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) ) )
8886, 87ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) )  <-> 
( x  e.  A ,  y  e.  A  |-> 
<. ( N `  x
) ,  ( N `
 y ) >.
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
8985, 88sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )
90 f1oco 5496 . . . 4  |-  ( ( ( ( H  o.  J )  o.  Z
) : ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  /\  T : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  X.  ( om  ^o  W ) ) )  ->  ( (
( H  o.  J
)  o.  Z )  o.  T ) : ( A  X.  A
)
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
9174, 89, 90syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
92 f1oco 5496 . . 3  |-  ( ( `' N : ( om 
^o  W ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )  ->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
933, 91, 92syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
94 infxpenc.g . . 3  |-  G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
95 f1oeq1 5463 . . 3  |-  ( G  =  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )  ->  ( G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  <->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A ) )
9694, 95ax-mp 8 . 2  |-  ( G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A  <->  ( `' N  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) ) : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
9793, 96sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  G : ( A  X.  A ) -1-1-onto-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   <.cop 3643    e. cmpt 4077    _I cid 4304   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   2oc2o 6473    +o coa 6476    .o comu 6477    ^o coe 6478    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CNF ccnf 7362
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  7647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363
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