Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpenc2 Structured version   Unicode version

Theorem infxpenc2 7908
 Description: Existence form of infxpenc 7904. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 7901, asserting the existence of a single function that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpenc2
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem infxpenc2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c 7666 . 2
2 df-2o 6728 . . . . . . . 8
32oveq2i 6095 . . . . . . 7
4 omelon 7604 . . . . . . . 8
5 1on 6734 . . . . . . . 8
6 oesuc 6774 . . . . . . . 8
74, 5, 6mp2an 655 . . . . . . 7
8 oe1 6790 . . . . . . . . 9
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8
109oveq1i 6094 . . . . . . 7
113, 7, 103eqtri 2462 . . . . . 6
12 omxpen 7213 . . . . . . 7
134, 4, 12mp2an 655 . . . . . 6
1411, 13eqbrtri 4234 . . . . 5
15 xpomen 7902 . . . . 5
1614, 15entri 7164 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 bren 7120 . . 3
1917, 18sylib 190 . 2
20 eeanv 1938 . . 3
21 simpl 445 . . . . . 6
22 simprl 734 . . . . . . 7
23 sseq2 3372 . . . . . . . . 9
24 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . 12
25 f1oeq3 5670 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11
2726cbvrexv 2935 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13
29 f1oeq1 5668 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
31 f1oeq2 5669 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31bitrd 246 . . . . . . . . . . 11
3332rexbidv 2728 . . . . . . . . . 10
3427, 33syl5bb 250 . . . . . . . . 9
3523, 34imbi12d 313 . . . . . . . 8
3635cbvralv 2934 . . . . . . 7
3722, 36sylib 190 . . . . . 6
38 oveq2 6092 . . . . . . . . 9
3938cbvmptv 4303 . . . . . . . 8
4039cnveqi 5050 . . . . . . 7
4140fveq1i 5732 . . . . . 6
42 2on 6735 . . . . . . . . . 10
43 peano1 4867 . . . . . . . . . . 11
44 oen0 6832 . . . . . . . . . . 11
4543, 44mpan2 654 . . . . . . . . . 10
464, 42, 45mp2an 655 . . . . . . . . 9
47 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
4847fveqf1o 6032 . . . . . . . . 9
4946, 43, 48mp3an23 1272 . . . . . . . 8
5049ad2antll 711 . . . . . . 7
5150simpld 447 . . . . . 6
5250simprd 451 . . . . . 6
5321, 37, 41, 51, 52infxpenc2lem3 7907 . . . . 5
5453ex 425 . . . 4
5554exlimdvv 1648 . . 3
5620, 55syl5bir 211 . 2
571, 19, 56mp2and 662 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   cdif 3319   cun 3320   wss 3322  c0 3630  cpr 3817  cop 3819   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cid 4496  con0 4584   csuc 4586  com 4848   cxp 4879  ccnv 4880   crn 4882   cres 4883   ccom 4885  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1o 6720  c2o 6721   comu 6725   coe 6726   cen 7109 This theorem is referenced by:  pwfseq  8544 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-oexp 6733  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-cnf 7620  df-card 7831
 Copyright terms: Public domain W3C validator