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Theorem infxpenc2 7665
Description: Existence form of infxpenc 7661. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 7658, asserting the existence of a single function  g that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpenc2  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Distinct variable group:    g, b, A

Proof of Theorem infxpenc2
Dummy variables  f  n  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c 7425 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. n A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) ) )
2 df-2o 6496 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
32oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  2o )  =  ( om  ^o  suc  1o )
4 omelon 7363 . . . . . . . 8  |-  om  e.  On
5 1on 6502 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
6 oesuc 6542 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( om  ^o  suc  1o )  =  ( ( om  ^o  1o )  .o  om ) )
74, 5, 6mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  suc  1o )  =  ( ( om 
^o  1o )  .o 
om )
8 oe1 6558 . . . . . . . . 9  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
94, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
109oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  1o )  .o  om )  =  ( om  .o  om )
113, 7, 103eqtri 2320 . . . . . 6  |-  ( om 
^o  2o )  =  ( om  .o  om )
12 omxpen 6980 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  om  e.  On )  -> 
( om  .o  om )  ~~  ( om  X.  om ) )
134, 4, 12mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( om 
.o  om )  ~~  ( om  X.  om )
1411, 13eqbrtri 4058 . . . . 5  |-  ( om 
^o  2o )  ~~  ( om  X.  om )
15 xpomen 7659 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
1614, 15entri 6931 . . . 4  |-  ( om 
^o  2o )  ~~  om
1716a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  ^o  2o )  ~~  om )
18 bren 6887 . . 3  |-  ( ( om  ^o  2o ) 
~~  om  <->  E. f  f : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om )
1917, 18sylib 188 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. f 
f : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
20 eeanv 1866 . . 3  |-  ( E. n E. f ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )  <->  ( E. n A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  E. f  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )
21 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  A  e.  On )
22 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) ) )
23 sseq2 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( om  C_  x  <->  om  C_  b
) )
24 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( om  ^o  y )  =  ( om  ^o  w
) )
25 f1oeq3 5481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  ^o  y )  =  ( om  ^o  w )  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y )  <->  ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y )  <->  ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
2726cbvrexv 2778 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) )
28 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
n `  x )  =  ( n `  b ) )
29 f1oeq1 5479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n `  x )  =  ( n `  b )  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
31 f1oeq2 5480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( n `  b
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
3230, 31bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
3332rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  ( E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
3427, 33syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
3523, 34imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y ) )  <-> 
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) ) )
3635cbvralv 2777 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y ) )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
3722, 36sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
38 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  z  ->  ( om  ^o  b )  =  ( om  ^o  z
) )
3938cbvmptv 4127 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  b ) )  =  ( z  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  z ) )
4039cnveqi 4872 . . . . . . 7  |-  `' ( b  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  b ) )  =  `' ( z  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  z ) )
4140fveq1i 5542 . . . . . 6  |-  ( `' ( b  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  b
) ) `  ran  ( n `  b
) )  =  ( `' ( z  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  z ) ) `  ran  ( n `  b
) )
42 2on 6503 . . . . . . . . . 10  |-  2o  e.  On
43 peano1 4691 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  om
44 oen0 6600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
4543, 44mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  ->  (/) 
e.  ( om  ^o  2o ) )
464, 42, 45mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( om  ^o  2o )
47 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) )  =  ( f  o.  (
(  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) )
4847fveqf1o 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om  /\  (/) 
e.  ( om  ^o  2o )  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om  /\  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) ) )
4946, 43, 48mp3an23 1269 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om  ->  ( (
f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om  /\  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) ) )
5049ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  -> 
( ( f  o.  ( (  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om  /\  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) ) )
5150simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  -> 
( f  o.  (
(  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om )
5250simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  -> 
( ( f  o.  ( (  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) )
5321, 37, 41, 51, 52infxpenc2lem3 7664 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
5453ex 423 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y ) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
5554exlimdvv 1627 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. n E. f ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
5620, 55syl5bir 209 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( E. n A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y ) )  /\  E. f 
f : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
571, 19, 56mp2and 660 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {cpr 3654   <.cop 3656   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    .o comu 6493    ^o coe 6494    ~~ cen 6876
This theorem is referenced by:  pwfseq  8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379  df-card 7588
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