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Theorem infxpenc2 7908
Description: Existence form of infxpenc 7904. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 7901, asserting the existence of a single function  g that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpenc2  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Distinct variable group:    g, b, A

Proof of Theorem infxpenc2
Dummy variables  f  n  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c 7666 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. n A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) ) )
2 df-2o 6728 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
32oveq2i 6095 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  2o )  =  ( om  ^o  suc  1o )
4 omelon 7604 . . . . . . . 8  |-  om  e.  On
5 1on 6734 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
6 oesuc 6774 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( om  ^o  suc  1o )  =  ( ( om  ^o  1o )  .o  om ) )
74, 5, 6mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  suc  1o )  =  ( ( om 
^o  1o )  .o 
om )
8 oe1 6790 . . . . . . . . 9  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
109oveq1i 6094 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  1o )  .o  om )  =  ( om  .o  om )
113, 7, 103eqtri 2462 . . . . . 6  |-  ( om 
^o  2o )  =  ( om  .o  om )
12 omxpen 7213 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  om  e.  On )  -> 
( om  .o  om )  ~~  ( om  X.  om ) )
134, 4, 12mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( om 
.o  om )  ~~  ( om  X.  om )
1411, 13eqbrtri 4234 . . . . 5  |-  ( om 
^o  2o )  ~~  ( om  X.  om )
15 xpomen 7902 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
1614, 15entri 7164 . . . 4  |-  ( om 
^o  2o )  ~~  om
1716a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( om  ^o  2o )  ~~  om )
18 bren 7120 . . 3  |-  ( ( om  ^o  2o ) 
~~  om  <->  E. f  f : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om )
1917, 18sylib 190 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. f 
f : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
20 eeanv 1938 . . 3  |-  ( E. n E. f ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )  <->  ( E. n A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  E. f  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )
21 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  A  e.  On )
22 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) ) )
23 sseq2 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( om  C_  x  <->  om  C_  b
) )
24 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( om  ^o  y )  =  ( om  ^o  w
) )
25 f1oeq3 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  ^o  y )  =  ( om  ^o  w )  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y )  <->  ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y )  <->  ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
2726cbvrexv 2935 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) )
28 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
n `  x )  =  ( n `  b ) )
29 f1oeq1 5668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n `  x )  =  ( n `  b )  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
31 f1oeq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( n `  b
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
3230, 31bitrd 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
3332rexbidv 2728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  ( E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
3427, 33syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
3523, 34imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y ) )  <-> 
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) ) )
3635cbvralv 2934 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y ) )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
3722, 36sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
38 oveq2 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  z  ->  ( om  ^o  b )  =  ( om  ^o  z
) )
3938cbvmptv 4303 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  b ) )  =  ( z  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  z ) )
4039cnveqi 5050 . . . . . . 7  |-  `' ( b  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  b ) )  =  `' ( z  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  z ) )
4140fveq1i 5732 . . . . . 6  |-  ( `' ( b  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  b
) ) `  ran  ( n `  b
) )  =  ( `' ( z  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  z ) ) `  ran  ( n `  b
) )
42 2on 6735 . . . . . . . . . 10  |-  2o  e.  On
43 peano1 4867 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  om
44 oen0 6832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  2o ) )
4543, 44mpan2 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  2o  e.  On )  ->  (/) 
e.  ( om  ^o  2o ) )
464, 42, 45mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( om  ^o  2o )
47 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) )  =  ( f  o.  (
(  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) )
4847fveqf1o 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om  /\  (/) 
e.  ( om  ^o  2o )  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om  /\  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) ) )
4946, 43, 48mp3an23 1272 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om  ->  ( (
f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om  /\  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) ) )
5049ad2antll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  -> 
( ( f  o.  ( (  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om  /\  ( ( f  o.  ( (  _I  |`  ( ( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <. (/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) ) )
5150simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  -> 
( f  o.  (
(  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) : ( om  ^o  2o )
-1-1-onto-> om )
5250simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  -> 
( ( f  o.  ( (  _I  |`  (
( om  ^o  2o )  \  { (/) ,  ( `' f `  (/) ) } ) )  u.  { <.
(/) ,  ( `' f `  (/) ) >. ,  <. ( `' f `
 (/) ) ,  (/) >. } ) ) `  (/) )  =  (/) )
5321, 37, 41, 51, 52infxpenc2lem3 7907 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om ) )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
5453ex 425 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x
) : x -1-1-onto-> ( om 
^o  y ) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
5554exlimdvv 1648 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. n E. f ( A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y
) )  /\  f : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
5620, 55syl5bir 211 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( E. n A. x  e.  A  ( om  C_  x  ->  E. y  e.  ( On  \  1o ) ( n `  x ) : x -1-1-onto-> ( om  ^o  y ) )  /\  E. f 
f : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
571, 19, 56mp2and 662 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {cpr 3817   <.cop 3819   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    _I cid 4496   Oncon0 4584   suc csuc 4586   omcom 4848    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   ran crn 4882    |` cres 4883    o. ccom 4885   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1oc1o 6720   2oc2o 6721    .o comu 6725    ^o coe 6726    ~~ cen 7109
This theorem is referenced by:  pwfseq  8544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-oexp 6733  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-cnf 7620  df-card 7831
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