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Theorem infxpenc2lem1 7662
Description: Lemma for infxpenc2 7665. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem1  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
Distinct variable groups:    n, b, w, x, A    ph, b, w, x    w, W, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    W( n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
21r19.21bi 2654 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
32impr 602 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
4 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5 infxpenc2.3 . . . . . . . 8  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
6 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  w
) )
7 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) )  =  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) )
8 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( om 
^o  w )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( On  \  1o )  ->  ( ( x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ( om  ^o  w ) )
109ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ( om  ^o  w ) )
11 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  ->  ( n `  b ) : b
-onto-> ( om  ^o  w
) )
1211ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( n `  b ) : b
-onto-> ( om  ^o  w
) )
13 forn 5470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n `  b ) : b -onto-> ( om 
^o  w )  ->  ran  ( n `  b
)  =  ( om 
^o  w ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ran  ( n `
 b )  =  ( om  ^o  w
) )
1510, 14eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ran  ( n `
 b ) )
16 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( om 
^o  x )  e. 
_V
1716a1ii 24 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  ->  ( om  ^o  x )  e.  _V ) )
18 omelon 7363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  om  e.  On
19 1onn 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
20 ondif2 6517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
2118, 19, 20mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  e.  ( On  \  2o )
2221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  om  e.  ( On  \  2o ) )
23 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( On  \  1o )  ->  x  e.  On )
2423ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
25 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( On  \  1o )  ->  y  e.  On )
2625ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  y  e.  On )
27 oecan 6603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( om  ^o  x
)  =  ( om 
^o  y )  <->  x  =  y ) )
2822, 24, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  ( ( om 
^o  x )  =  ( om  ^o  y
)  <->  x  =  y
) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  y )  <-> 
x  =  y ) ) )
3017, 29dom2lem 6917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On  \  1o ) -1-1-> _V )
31 f1f1orn 5499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On 
\  1o ) -1-1-> _V  ->  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) : ( On  \  1o ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On  \  1o )
-1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) )
33 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  w  e.  ( On  \  1o ) )
34 f1ocnvfv 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) : ( On  \  1o ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) )  /\  w  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (
( ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ran  ( n `  b
)  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  ran  (
n `  b )
)  =  w ) )
3532, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) `  w
)  =  ran  (
n `  b )  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )  =  w ) )
3615, 35mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  ran  (
n `  b )
)  =  w )
375, 36syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  W  =  w )
3837eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o ) 
<->  w  e.  ( On 
\  1o ) ) )
3937oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( om  ^o  W )  =  ( om  ^o  w ) )
40 f1oeq3 5481 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  W )  =  ( om  ^o  w )  ->  (
( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
4139, 40syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
4238, 41anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )  <->  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) ) )
434, 42mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
4443expr 598 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  w  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) ) )
4544rexlimdva 2680 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) ) )
463, 45mpd 14 1  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   omcom 4672   `'ccnv 4704   ran crn 4706   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    ^o coe 6494
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  7663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501
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