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Theorem infxpenc2lem1 7902
Description: Lemma for infxpenc2 7905. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem1  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
Distinct variable groups:    n, b, w, x, A    ph, b, w, x    w, W, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    W( n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
21r19.21bi 2806 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
32impr 604 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
4 simpr 449 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5 infxpenc2.3 . . . . . 6  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
6 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  w
) )
7 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) )  =  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) )
8 ovex 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( om 
^o  w )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( On  \  1o )  ->  ( ( x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ( om  ^o  w ) )
109ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ( om  ^o  w ) )
11 f1ofo 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  ->  ( n `  b ) : b
-onto-> ( om  ^o  w
) )
1211ad2antll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( n `  b ) : b
-onto-> ( om  ^o  w
) )
13 forn 5658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n `  b ) : b -onto-> ( om 
^o  w )  ->  ran  ( n `  b
)  =  ( om 
^o  w ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ran  ( n `
 b )  =  ( om  ^o  w
) )
1510, 14eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ran  ( n `
 b ) )
16 ovex 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om 
^o  x )  e. 
_V
1716a1ii 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  ->  ( om  ^o  x )  e.  _V ) )
18 omelon 7603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
19 1onn 6884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
20 ondif2 6748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
2118, 19, 20mpbir2an 888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  e.  ( On  \  2o )
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  om  e.  ( On  \  2o ) )
23 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( On  \  1o )  ->  x  e.  On )
2423ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
25 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( On  \  1o )  ->  y  e.  On )
2625ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  y  e.  On )
27 oecan 6834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( om  ^o  x
)  =  ( om 
^o  y )  <->  x  =  y ) )
2822, 24, 26, 27syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  ( ( om 
^o  x )  =  ( om  ^o  y
)  <->  x  =  y
) )
2928ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  y )  <-> 
x  =  y ) ) )
3017, 29dom2lem 7149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On  \  1o ) -1-1-> _V )
31 f1f1orn 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On 
\  1o ) -1-1-> _V  ->  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) : ( On  \  1o ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On  \  1o )
-1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) )
33 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  w  e.  ( On  \  1o ) )
34 f1ocnvfv 6018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) : ( On  \  1o ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) )  /\  w  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (
( ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ran  ( n `  b
)  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  ran  (
n `  b )
)  =  w ) )
3532, 33, 34syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) `  w
)  =  ran  (
n `  b )  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )  =  w ) )
3615, 35mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  ran  (
n `  b )
)  =  w )
375, 36syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  W  =  w )
3837eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o ) 
<->  w  e.  ( On 
\  1o ) ) )
3937oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( om  ^o  W )  =  ( om  ^o  w ) )
40 f1oeq3 5669 . . . . 5  |-  ( ( om  ^o  W )  =  ( om  ^o  w )  ->  (
( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
4238, 41anbi12d 693 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )  <->  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) ) )
434, 42mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
443, 43rexlimddv 2836 1  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322    e. cmpt 4268   Oncon0 4583   omcom 4847   `'ccnv 4879   ran crn 4881   -1-1->wf1 5453   -onto->wfo 5454   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1oc1o 6719   2oc2o 6720    ^o coe 6725
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  7903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-oexp 6732
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