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Theorem infxpenc2lem1 7646
Description: Lemma for infxpenc2 7649. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem1  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
Distinct variable groups:    n, b, w, x, A    ph, b, w, x    w, W, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    W( n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
21r19.21bi 2641 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
32impr 602 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
4 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5 infxpenc2.3 . . . . . . . 8  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
6 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  w
) )
7 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) )  =  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) )
8 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( om 
^o  w )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( On  \  1o )  ->  ( ( x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ( om  ^o  w ) )
109ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ( om  ^o  w ) )
11 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  ->  ( n `  b ) : b
-onto-> ( om  ^o  w
) )
1211ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( n `  b ) : b
-onto-> ( om  ^o  w
) )
13 forn 5454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n `  b ) : b -onto-> ( om 
^o  w )  ->  ran  ( n `  b
)  =  ( om 
^o  w ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ran  ( n `
 b )  =  ( om  ^o  w
) )
1510, 14eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ran  ( n `
 b ) )
16 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( om 
^o  x )  e. 
_V
1716a1ii 24 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  ->  ( om  ^o  x )  e.  _V ) )
18 omelon 7347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  om  e.  On
19 1onn 6637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
20 ondif2 6501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
2118, 19, 20mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  e.  ( On  \  2o )
2221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  om  e.  ( On  \  2o ) )
23 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( On  \  1o )  ->  x  e.  On )
2423ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
25 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( On  \  1o )  ->  y  e.  On )
2625ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  y  e.  On )
27 oecan 6587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( om  ^o  x
)  =  ( om 
^o  y )  <->  x  =  y ) )
2822, 24, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b )
)  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )  /\  (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) ) )  ->  ( ( om 
^o  x )  =  ( om  ^o  y
)  <->  x  =  y
) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( On 
\  1o )  /\  y  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( om  ^o  x )  =  ( om  ^o  y )  <-> 
x  =  y ) ) )
3017, 29dom2lem 6901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On  \  1o ) -1-1-> _V )
31 f1f1orn 5483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( On 
\  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On 
\  1o ) -1-1-> _V  ->  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) : ( On  \  1o ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) : ( On  \  1o )
-1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) )
33 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  w  e.  ( On  \  1o ) )
34 f1ocnvfv 5794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) : ( On  \  1o ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) )  /\  w  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (
( ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  w )  =  ran  ( n `  b
)  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  ran  (
n `  b )
)  =  w ) )
3532, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
( x  e.  ( On  \  1o ) 
|->  ( om  ^o  x
) ) `  w
)  =  ran  (
n `  b )  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )  =  w ) )
3615, 35mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om  ^o  x ) ) `  ran  (
n `  b )
)  =  w )
375, 36syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  W  =  w )
3837eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o ) 
<->  w  e.  ( On 
\  1o ) ) )
3937oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( om  ^o  W )  =  ( om  ^o  w ) )
40 f1oeq3 5465 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  W )  =  ( om  ^o  w )  ->  (
( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
4139, 40syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
4238, 41anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )  <->  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) ) )
434, 42mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  ( w  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
4443expr 598 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  om  C_  b ) )  /\  w  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) ) )
4544rexlimdva 2667 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( E. w  e.  ( On  \  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) ) )
463, 45mpd 14 1  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   omcom 4656   `'ccnv 4688   ran crn 4690   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ^o coe 6478
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  7647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485
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