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Theorem infxpenc2lem2 7903
Description: Lemma for infxpenc2 7905. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
infxpenc2.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc2.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
infxpenc2.k  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
infxpenc2.h  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
infxpenc2.l  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
infxpenc2.x  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
infxpenc2.y  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
infxpenc2.j  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
infxpenc2.z  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
infxpenc2.t  |-  T  =  ( x  e.  b ,  y  e.  b 
|->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. )
infxpenc2.g  |-  G  =  ( `' ( n `
 b )  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem2  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Distinct variable groups:    g, b, n, w, x, y, A    ph, b, w, x, y   
z, g, W, w, x, y    g, F, x, y    g, G   
x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( z, g, n)    A( z)    T( x, y, z, w, g, n, b)    F( z, w, n, b)    G( x, y, z, w, n, b)    H( x, y, z, w, g, n, b)    J( x, y, z, w, g, n, b)    K( x, y, z, w, g, n, b)    L( x, y, z, w, g, n, b)    W( n, b)    X( z, w, g, n, b)    Y( z, w, g, n, b)    Z( x, y, z, w, g, n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem2
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 mptexg 5967 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
b  e.  A  |->  G )  e.  _V )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( b  e.  A  |->  G )  e.  _V )
41adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  A  e.  On )
5 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  b  e.  A )
6 onelon 4608 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  On )
74, 5, 6syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  b  e.  On )
8 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  om  C_  b
)
9 infxpenc2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
10 infxpenc2.3 . . . . . . . 8  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
111, 9, 10infxpenc2lem1 7902 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( W  e.  ( On  \  1o )  /\  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) ) )
1211simpld 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  W  e.  ( On  \  1o ) )
13 infxpenc2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
1413adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  F : ( om  ^o  2o ) -1-1-onto-> om )
15 infxpenc2.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
1615adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
1711simprd 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
18 infxpenc2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
19 infxpenc2.h . . . . . 6  |-  H  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  K
)  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF  W ) )
20 infxpenc2.l . . . . . 6  |-  L  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( Y  o.  `' X ) ) ) )
21 infxpenc2.x . . . . . 6  |-  X  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w
) )
22 infxpenc2.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z
) )
23 infxpenc2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  L
)  o.  `' ( om CNF  ( W  .o  2o ) ) )
24 infxpenc2.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  x )  +o  y
) )
25 infxpenc2.t . . . . . 6  |-  T  =  ( x  e.  b ,  y  e.  b 
|->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. )
26 infxpenc2.g . . . . . 6  |-  G  =  ( `' ( n `
 b )  o.  ( ( ( H  o.  J )  o.  Z )  o.  T
) )
277, 8, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26infxpenc 7901 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )
28 f1of 5676 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  ->  G :
( b  X.  b
) --> b )
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  G : ( b  X.  b ) --> b )
30 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
3130, 30xpex 4992 . . . . . . . 8  |-  ( b  X.  b )  e. 
_V
32 fex 5971 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : ( b  X.  b ) --> b  /\  ( b  X.  b )  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
3329, 31, 32sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  G  e.  _V )
34 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  A  |->  G )  =  ( b  e.  A  |->  G )
3534fvmpt2 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  A  /\  G  e.  _V )  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b )  =  G )
365, 33, 35syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
( b  e.  A  |->  G ) `  b
)  =  G )
37 f1oeq1 5667 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
)  =  G  -> 
( ( ( b  e.  A  |->  G ) `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b 
<->  G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
3836, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
G : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
3927, 38mpbird 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  om  C_  b
) )  ->  (
( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )
4039expr 600 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  (
( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4140ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
42 nfmpt1 4300 . . . . 5  |-  F/_ b
( b  e.  A  |->  G )
4342nfeq2 2585 . . . 4  |-  F/ b  g  =  ( b  e.  A  |->  G )
44 fveq1 5729 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( g `  b
)  =  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) )
45 f1oeq1 5667 . . . . . 6  |-  ( ( g `  b )  =  ( ( b  e.  A  |->  G ) `
 b )  -> 
( ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4644, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4746imbi2d 309 . . . 4  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( ( om  C_  b  ->  ( g `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <-> 
( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
4843, 47ralbid 2725 . . 3  |-  ( g  =  ( b  e.  A  |->  G )  -> 
( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
4948spcegv 3039 . 2  |-  ( ( b  e.  A  |->  G )  e.  _V  ->  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( ( b  e.  A  |->  G ) `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) ) )
503, 41, 49sylc 59 1  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   <.cop 3819    e. cmpt 4268    _I cid 4495   Oncon0 4583   omcom 4847    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   ran crn 4881    |` cres 4882   "cima 4883    o. ccom 4884   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   1oc1o 6719   2oc2o 6720    +o coa 6723    .o comu 6724    ^o coe 6725    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   CNF ccnf 7618
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem3  7904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-oexp 6732  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-cnf 7619
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