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Theorem infxpenc2lem3 7648
Description: Lemma for infxpenc2 7649. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
infxpenc2.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc2.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem3  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Distinct variable groups:    g, b, n, w, x, A    ph, b, w, x    g, W, w, x    g, F, x
Allowed substitution hints:    ph( g, n)    F( w, n, b)    W( n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 infxpenc2.2 . 2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
3 infxpenc2.3 . 2  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
4 infxpenc2.4 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
5 infxpenc2.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
6 eqid 2283 . 2  |-  ( y  e.  { x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
7 eqid 2283 . 2  |-  ( ( ( om CNF  W )  o.  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )
8 eqid 2283 . 2  |-  ( y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) )
9 eqid 2283 . 2  |-  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) )  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) )
10 eqid 2283 . 2  |-  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z ) )  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )
11 eqid 2283 . 2  |-  ( ( ( om CNF  ( 2o  .o  W ) )  o.  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) )  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) )
12 eqid 2283 . 2  |-  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W )  |->  ( ( ( om  ^o  W
)  .o  x )  +o  y ) )  =  ( x  e.  ( om  ^o  W
) ,  y  e.  ( om  ^o  W
)  |->  ( ( ( om  ^o  W )  .o  x )  +o  y ) )
13 eqid 2283 . 2  |-  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. (
( n `  b
) `  x ) ,  ( ( n `
 b ) `  y ) >. )  =  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. )
14 eqid 2283 . 2  |-  ( `' ( n `  b
)  o.  ( ( ( ( ( ( om CNF  W )  o.  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )  o.  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) ) )  o.  ( x  e.  ( om  ^o  W
) ,  y  e.  ( om  ^o  W
)  |->  ( ( ( om  ^o  W )  .o  x )  +o  y ) ) )  o.  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. ) ) )  =  ( `' ( n `
 b )  o.  ( ( ( ( ( ( om CNF  W
)  o.  ( y  e.  { x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )  o.  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) ) )  o.  ( x  e.  ( om  ^o  W
) ,  y  e.  ( om  ^o  W
)  |->  ( ( ( om  ^o  W )  .o  x )  +o  y ) ) )  o.  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. ) ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14infxpenc2lem2 7647 1  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   <.cop 3643    e. cmpt 4077    _I cid 4304   Oncon0 4392   omcom 4656    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   2oc2o 6473    +o coa 6476    .o comu 6477    ^o coe 6478    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CNF ccnf 7362
This theorem is referenced by:  infxpenc2  7649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363
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