MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpenc2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem infxpenc2lem3 7902
Description: Lemma for infxpenc2 7903. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
infxpenc2.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc2.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem3  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Distinct variable groups:    g, b, n, w, x, A    ph, b, w, x    g, W, w, x    g, F, x
Allowed substitution hints:    ph( g, n)    F( w, n, b)    W( n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 infxpenc2.2 . 2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
3 infxpenc2.3 . 2  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
4 infxpenc2.4 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
5 infxpenc2.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
6 eqid 2436 . 2  |-  ( y  e.  { x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
7 eqid 2436 . 2  |-  ( ( ( om CNF  W )  o.  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )
8 eqid 2436 . 2  |-  ( y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) )
9 eqid 2436 . 2  |-  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) )  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) )
10 eqid 2436 . 2  |-  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z ) )  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )
11 eqid 2436 . 2  |-  ( ( ( om CNF  ( 2o  .o  W ) )  o.  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) )  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) )
12 eqid 2436 . 2  |-  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W )  |->  ( ( ( om  ^o  W
)  .o  x )  +o  y ) )  =  ( x  e.  ( om  ^o  W
) ,  y  e.  ( om  ^o  W
)  |->  ( ( ( om  ^o  W )  .o  x )  +o  y ) )
13 eqid 2436 . 2  |-  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. (
( n `  b
) `  x ) ,  ( ( n `
 b ) `  y ) >. )  =  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. )
14 eqid 2436 . 2  |-  ( `' ( n `  b
)  o.  ( ( ( ( ( ( om CNF  W )  o.  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )  o.  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) ) )  o.  ( x  e.  ( om  ^o  W
) ,  y  e.  ( om  ^o  W
)  |->  ( ( ( om  ^o  W )  .o  x )  +o  y ) ) )  o.  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. ) ) )  =  ( `' ( n `
 b )  o.  ( ( ( ( ( ( om CNF  W
)  o.  ( y  e.  { x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )  o.  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) ) )  o.  ( x  e.  ( om  ^o  W
) ,  y  e.  ( om  ^o  W
)  |->  ( ( ( om  ^o  W )  .o  x )  +o  y ) ) )  o.  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. ) ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14infxpenc2lem2 7901 1  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   <.cop 3817    e. cmpt 4266    _I cid 4493   Oncon0 4581   omcom 4845    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    o. ccom 4882   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   1oc1o 6717   2oc2o 6718    +o coa 6721    .o comu 6722    ^o coe 6723    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   CNF ccnf 7616
This theorem is referenced by:  infxpenc2  7903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-oexp 6730  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-cnf 7617
  Copyright terms: Public domain W3C validator