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Theorem infxpenc2lem3 7664
Description: Lemma for infxpenc2 7665. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
infxpenc2.2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
infxpenc2.3  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
infxpenc2.4  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc2.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem3  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Distinct variable groups:    g, b, n, w, x, A    ph, b, w, x    g, W, w, x    g, F, x
Allowed substitution hints:    ph( g, n)    F( w, n, b)    W( n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
2 infxpenc2.2 . 2  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( n `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
3 infxpenc2.3 . 2  |-  W  =  ( `' ( x  e.  ( On  \  1o )  |->  ( om 
^o  x ) ) `
 ran  ( n `  b ) )
4 infxpenc2.4 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( om 
^o  2o ) -1-1-onto-> om )
5 infxpenc2.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
6 eqid 2296 . 2  |-  ( y  e.  { x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )  =  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) )
7 eqid 2296 . 2  |-  ( ( ( om CNF  W )  o.  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )  =  ( ( ( om CNF 
W )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )
8 eqid 2296 . 2  |-  ( y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) )
9 eqid 2296 . 2  |-  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) )  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) )
10 eqid 2296 . 2  |-  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o  .o  w )  +o  z ) )  =  ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )
11 eqid 2296 . 2  |-  ( ( ( om CNF  ( 2o  .o  W ) )  o.  ( y  e.  {
x  e.  ( om 
^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  |->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) )  =  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) )
12 eqid 2296 . 2  |-  ( x  e.  ( om  ^o  W ) ,  y  e.  ( om  ^o  W )  |->  ( ( ( om  ^o  W
)  .o  x )  +o  y ) )  =  ( x  e.  ( om  ^o  W
) ,  y  e.  ( om  ^o  W
)  |->  ( ( ( om  ^o  W )  .o  x )  +o  y ) )
13 eqid 2296 . 2  |-  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. (
( n `  b
) `  x ) ,  ( ( n `
 b ) `  y ) >. )  =  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. )
14 eqid 2296 . 2  |-  ( `' ( n `  b
)  o.  ( ( ( ( ( ( om CNF  W )  o.  ( y  e.  {
x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x "
( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )  o.  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) ) )  o.  ( x  e.  ( om  ^o  W
) ,  y  e.  ( om  ^o  W
)  |->  ( ( ( om  ^o  W )  .o  x )  +o  y ) ) )  o.  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. ) ) )  =  ( `' ( n `
 b )  o.  ( ( ( ( ( ( om CNF  W
)  o.  ( y  e.  { x  e.  ( ( om  ^o  2o )  ^m  W )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( F  o.  (
y  o.  `' (  _I  |`  W )
) ) ) )  o.  `' ( ( om  ^o  2o ) CNF 
W ) )  o.  ( ( ( om CNF 
( 2o  .o  W
) )  o.  (
y  e.  { x  e.  ( om  ^m  ( W  .o  2o ) )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } 
|->  ( (  _I  |`  om )  o.  ( y  o.  `' ( ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( 2o 
.o  w )  +o  z ) )  o.  `' ( z  e.  2o ,  w  e.  W  |->  ( ( W  .o  z )  +o  w ) ) ) ) ) ) )  o.  `' ( om CNF 
( W  .o  2o ) ) ) )  o.  ( x  e.  ( om  ^o  W
) ,  y  e.  ( om  ^o  W
)  |->  ( ( ( om  ^o  W )  .o  x )  +o  y ) ) )  o.  ( x  e.  b ,  y  e.  b  |->  <. ( ( n `
 b ) `  x ) ,  ( ( n `  b
) `  y ) >. ) ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14infxpenc2lem2 7663 1  |-  ( ph  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  ( g `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656    e. cmpt 4093    _I cid 4320   Oncon0 4408   omcom 4672    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1oc1o 6488   2oc2o 6489    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   CNF ccnf 7378
This theorem is referenced by:  infxpenc2  7665
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
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