Theorem infxpg 15395

Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95.

Assertion

Ref	Expression
infxpg	|- ((om ~<_ A /\ B =/= (/) /\ (A e. C /\ B e. D)) -> (A X. B) ~~ (A u. B))

Proof of Theorem infxpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2578	. . . 4 |- (A e. C -> A e. _V)
2		elisset 2578	. . . 4 |- (B e. D -> B e. _V)
3		breq2 3543	. . . . . 6 |- (A = if(A e. _V, A, om) -> (om ~<_ A <-> om ~<_ if(A e. _V, A, om)))
4		xpeq1 4181	. . . . . . . 8 |- (A = if(A e. _V, A, om) -> (A X. B) = (if(A e. _V, A, om) X. B))
5		uneq1 2998	. . . . . . . 8 |- (A = if(A e. _V, A, om) -> (A u. B) = (if(A e. _V, A, om) u. B))
6	4, 5	breq12d 3552	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. _V, A, om) -> ((A X. B) ~~ (A u. B) <-> (if(A e. _V, A, om) X. B) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. B)))
7	6	imbi2d 380	. . . . . 6 |- (A = if(A e. _V, A, om) -> ((B =/= (/) -> (A X. B) ~~ (A u. B)) <-> (B =/= (/) -> (if(A e. _V, A, om) X. B) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. B))))
8	3, 7	imbi12d 384	. . . . 5 |- (A = if(A e. _V, A, om) -> ((om ~<_ A -> (B =/= (/) -> (A X. B) ~~ (A u. B))) <-> (om ~<_ if(A e. _V, A, om) -> (B =/= (/) -> (if(A e. _V, A, om) X. B) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. B)))))
9		neeq1 2302	. . . . . . 7 |- (B = if(B e. _V, B, om) -> (B =/= (/) <-> if(B e. _V, B, om) =/= (/)))
10		xpeq2 4182	. . . . . . . 8 |- (B = if(B e. _V, B, om) -> (if(A e. _V, A, om) X. B) = (if(A e. _V, A, om) X. if(B e. _V, B, om)))
11		uneq2 2999	. . . . . . . 8 |- (B = if(B e. _V, B, om) -> (if(A e. _V, A, om) u. B) = (if(A e. _V, A, om) u. if(B e. _V, B, om)))
12	10, 11	breq12d 3552	. . . . . . 7 |- (B = if(B e. _V, B, om) -> ((if(A e. _V, A, om) X. B) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. B) <-> (if(A e. _V, A, om) X. if(B e. _V, B, om)) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. if(B e. _V, B, om))))
13	9, 12	imbi12d 384	. . . . . 6 |- (B = if(B e. _V, B, om) -> ((B =/= (/) -> (if(A e. _V, A, om) X. B) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. B)) <-> (if(B e. _V, B, om) =/= (/) -> (if(A e. _V, A, om) X. if(B e. _V, B, om)) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. if(B e. _V, B, om)))))
14	13	imbi2d 380	. . . . 5 |- (B = if(B e. _V, B, om) -> ((om ~<_ if(A e. _V, A, om) -> (B =/= (/) -> (if(A e. _V, A, om) X. B) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. B))) <-> (om ~<_ if(A e. _V, A, om) -> (if(B e. _V, B, om) =/= (/) -> (if(A e. _V, A, om) X. if(B e. _V, B, om)) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. if(B e. _V, B, om))))))
15		omex 6010	. . . . . . . 8 |- om e. _V
16	15	elimel 3251	. . . . . . 7 |- if(A e. _V, A, om) e. _V
17	15	elimel 3251	. . . . . . 7 |- if(B e. _V, B, om) e. _V
18	16, 17	infxp 9371	. . . . . 6 |- ((om ~<_ if(A e. _V, A, om) /\ if(B e. _V, B, om) =/= (/)) -> (if(A e. _V, A, om) X. if(B e. _V, B, om)) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. if(B e. _V, B, om)))
19	18	ex 494	. . . . 5 |- (om ~<_ if(A e. _V, A, om) -> (if(B e. _V, B, om) =/= (/) -> (if(A e. _V, A, om) X. if(B e. _V, B, om)) ~~ (if(A e. _V, A, om) u. if(B e. _V, B, om))))
20	8, 14, 19	dedth2h 3241	. . . 4 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> (om ~<_ A -> (B =/= (/) -> (A X. B) ~~ (A u. B))))
21	1, 2, 20	syl2an 699	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (om ~<_ A -> (B =/= (/) -> (A X. B) ~~ (A u. B))))
22	21	com3l 71	. 2 |- (om ~<_ A -> (B =/= (/) -> ((A e. C /\ B e. D) -> (A X. B) ~~ (A u. B))))
23	22	3imp 1339	1 |- ((om ~<_ A /\ B =/= (/) /\ (A e. C /\ B e. D)) -> (A X. B) ~~ (A u. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 433   /\ w3a 1130   = wceq 1615   e. wcel 1617   =/= wne 2295  _Vcvv 2569   u. cun 2857  (/)c0 3114  ifcif 3212   class class class wbr 3539  omcom 4117   X. cxp 4149   ~~ cen 5627   ~<_ cdom 5628

This theorem is referenced by:  tarsuc2 16316

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-inf2 6008  ax-ac 6385

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-ral 2389  df-rex 2390  df-reu 2391  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-pss 2870  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3277  df-op 3278  df-uni 3399  df-int 3433  df-iun 3470  df-br 3540  df-opab 3598  df-tr 3612  df-eprel 3776  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-fr 3814  df-we 3830  df-ord 3846  df-on 3847  df-lim 3848  df-suc 3849  df-om 4118  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-iso 4180  df-opr 5022  df-oprab 5023  df-mpt 5138  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-rdg 5344  df-1o 5384  df-2o 5385  df-oadd 5386  df-er 5519  df-en 5631  df-dom 5632  df-sdom 5633  df-fin 5634  df-card 6166  df-cda 6303

Copyright terms: Public domain