Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpidm2 Unicode version

Theorem infxpidm2 7644
 Description: The cross product of an infinite set with itself is idempotent. This theorem provides the basis for infinite cardinal arithmetic. Proposition 10.40 of [TakeutiZaring] p. 95. See also infxpidm 8184. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpidm2

Proof of Theorem infxpidm2
StepHypRef Expression
1 cardid2 7586 . . . . . 6
2 ensym 6910 . . . . . 6
31, 2syl 15 . . . . 5
4 xpen 7024 . . . . 5
53, 3, 4syl2anc 642 . . . 4
65adantr 451 . . 3
7 cardon 7577 . . . 4
8 cardom 7619 . . . . 5
9 omelon 7347 . . . . . . . 8
10 onenon 7582 . . . . . . . 8
119, 10ax-mp 8 . . . . . . 7
12 carddom2 7610 . . . . . . 7
1311, 12mpan 651 . . . . . 6
1413biimpar 471 . . . . 5
158, 14syl5eqssr 3223 . . . 4
16 infxpen 7642 . . . 4
177, 15, 16sylancr 644 . . 3
18 entr 6913 . . 3
196, 17, 18syl2anc 642 . 2
201adantr 451 . 2
21 entr 6913 . 2
2219, 20, 21syl2anc 642 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wcel 1684   wss 3152   class class class wbr 4023  con0 4392  com 4656   cxp 4687   cdm 4689  cfv 5255   cen 6860   cdom 6861  ccrd 7568 This theorem is referenced by:  infpwfien  7689  mappwen  7739  infcdaabs  7832  infxpdom  7837  fin67  8021  infxpidm  8184  ttac  27129 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572
 Copyright terms: Public domain W3C validator