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Theorem injresinjlem 11204
Description: Lemma for injresinj 11205. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
injresinjlem  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )

Proof of Theorem injresinjlem
Dummy variables  f 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznelfzo 11197 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  y  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )
2 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : ( 0 ... K ) --> V  ->  F  Fn  ( 0 ... K ) )
32adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  F  Fn  (
0 ... K ) )
4 0nn0 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  NN0
54a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  e. 
NN0 )
6 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e. 
NN0 )
7 nn0ge0 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  <_  K )
8 elfz2nn0 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ( 0 ... K )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  K  e. 
NN0  /\  0  <_  K ) )
95, 6, 7, 8syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... K
) )
109adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  e.  ( 0 ... K ) )
11 nn0re 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
1211leidd 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  <_  K )
13 elfz2nn0 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 0 ... K )  <->  ( K  e.  NN0  /\  K  e. 
NN0  /\  K  <_  K ) )
146, 6, 12, 13syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ( 0 ... K
) )
1514adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ( 0 ... K ) )
16 fnimapr 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  ( 0 ... K )  /\  0  e.  ( 0 ... K )  /\  K  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( F " { 0 ,  K } )  =  {
( F `  0
) ,  ( F `
 K ) } )
173, 10, 15, 16syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F " { 0 ,  K } )  =  {
( F `  0
) ,  ( F `
 K ) } )
1817ineq1d 3543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  ( { ( F `  0
) ,  ( F `
 K ) }  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) ) )
1918eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  <->  ( { ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  i^i  ( F
" ( 1..^ K ) ) )  =  (/) ) )
20 disj 3670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  i^i  ( F
" ( 1..^ K ) ) )  =  (/) 
<-> 
A. f  e.  {
( F `  0
) ,  ( F `
 K ) }  -.  f  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) )
2119, 20syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  <->  A. f  e.  { ( F `  0 ) ,  ( F `  K ) }  -.  f  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
22 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 0 )  e. 
_V
23 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 K )  e. 
_V
2422, 23pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  0 )  e.  _V  /\  ( F `  K )  e.  _V )
25 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( F ` 
0 )  ->  (
f  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
2625notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( F ` 
0 )  ->  ( -.  f  e.  ( F " ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
27 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( F `  K )  ->  (
f  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  K )  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
2827notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( F `  K )  ->  ( -.  f  e.  ( F " ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
2926, 28ralprg 3859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  0
)  e.  _V  /\  ( F `  K )  e.  _V )  -> 
( A. f  e. 
{ ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  -.  f  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <-> 
( -.  ( F `
 0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  /\  -.  ( F `
 K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) ) )
3024, 29mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  { ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  -.  f  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <-> 
( -.  ( F `
 0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  /\  -.  ( F `
 K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) ) )
31 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  =  y  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  y ) )
3231eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  y ) )
3332eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  y )  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
3433notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  0  ->  ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
3534biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0  ->  ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  -.  ( F `  y )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) ) )
36 1nn0 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  NN0
37 elnn0uz 10528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  e.  NN0  <->  1  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3836, 37mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
39 fzoss1 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0..^ K ) )
4038, 39mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0..^ K ) )
41 fzossfz 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0..^ K )  C_  (
0 ... K )
4240, 41syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 1..^ K )  C_  (
0 ... K ) )
43 fvelimab 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  Fn  ( 0 ... K )  /\  ( 1..^ K )  C_  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z
)  =  ( F `
 y ) ) )
442, 42, 43syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( F `
 y )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <->  E. z  e.  (
1..^ K ) ( F `  z )  =  ( F `  y ) ) )
4544notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  <->  -.  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z )  =  ( F `  y ) ) )
46 ralnex 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y )  <->  -.  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z
)  =  ( F `
 y ) )
47 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
4847eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
4948notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
5049rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )
51 pm2.21 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
5251a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
5352a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
5453a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
5550, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ K )  /\  A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
5655expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y )  ->  (
x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5756com24 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. z  e.  ( 1..^ K )  -.  ( F `  z )  =  ( F `  y )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5846, 57sylbir 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -. 
E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `  z )  =  ( F `  y )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5958com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -.  E. z  e.  ( 1..^ K ) ( F `
 z )  =  ( F `  y
)  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6045, 59sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6160com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6235, 61syl6com 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  (
y  =  0  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
6362adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  ( F ` 
0 )  e.  ( F " ( 1..^ K ) )  /\  -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) ) )  -> 
( y  =  0  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
6463com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  0  ->  (
( -.  ( F `
 0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  /\  -.  ( F `
 K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
65 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  =  y  ->  ( F `  K )  =  ( F `  y ) )
6665eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  K  ->  ( F `  K )  =  ( F `  y ) )
6766eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  K  ->  (
( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  ( F `  y )  e.  ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
6867notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  K  ->  ( -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  <->  -.  ( F `  y )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) ) )
6968biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  K  ->  ( -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  -.  ( F `  y )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) ) )
7069, 61syl6com 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  ->  (
y  =  K  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7170adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  ( F ` 
0 )  e.  ( F " ( 1..^ K ) )  /\  -.  ( F `  K
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) ) )  -> 
( y  =  K  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7271com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  K  ->  (
( -.  ( F `
 0 )  e.  ( F " (
1..^ K ) )  /\  -.  ( F `
 K )  e.  ( F " (
1..^ K ) ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7364, 72jaoi 370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  /\  -.  ( F `  K )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7473com13 77 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -.  ( F `  0
)  e.  ( F
" ( 1..^ K ) )  /\  -.  ( F `  K )  e.  ( F "
( 1..^ K ) ) )  ->  (
( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7530, 74sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  { ( F ` 
0 ) ,  ( F `  K ) }  -.  f  e.  ( F " (
1..^ K ) )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7621, 75sylbid 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( x  e.  ( 1..^ K )  -> 
( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7776com14 85 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 ... K )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7877com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F " {
0 ,  K }
)  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
7978com15 90 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1..^ K )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( (
y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
80 elfznelfzo 11197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  x  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( x  =  0  \/  x  =  K ) )
81 eqtr3 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  0 )  ->  x  =  y )
82 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
8382a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
8483a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
8584a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
8685a1d 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
8781, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
8832adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  y ) )
89 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  =  x  ->  ( F `  K )  =  ( F `  x ) )
9089eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  K  ->  ( F `  K )  =  ( F `  x ) )
9190adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( F `  K )  =  ( F `  x ) )
9288, 91neeq12d 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  <->  ( F `  y )  =/=  ( F `  x )
) )
93 df-ne 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  y )  =/=  ( F `  x )  <->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
94 pm2.24 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  y )  =  ( F `  x )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  ->  x  =  y )
)
9594eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  ->  x  =  y )
)
9695com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
9793, 96sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  y )  =/=  ( F `  x )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
9892, 97syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
9998a1d 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
10099a1d 24 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  0 )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
101 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  =  x  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  x ) )
102101eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  0 )  =  ( F `  x ) )
103102adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  x ) )
10466adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( F `  K )  =  ( F `  y ) )
105103, 104neeq12d 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  <->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
106 df-ne 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
107106, 51sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
108105, 107syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
109108a1d 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F "
( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F ` 
0 )  =/=  ( F `  K )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
110109a1d 24 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
111 eqtr3 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  K )  ->  x  =  y )
112111, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  K  /\  y  =  K )  ->  ( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
11387, 100, 110, 112ccase 914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  0  \/  x  =  K )  /\  ( y  =  0  \/  y  =  K ) )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
114113ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  0  \/  x  =  K )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
11580, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  x  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
116115expcom 426 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( 1..^ K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  (
( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( F `
 0 )  =/=  ( F `  K
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
11779, 116pm2.61i 159 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 ... K )  ->  (
( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
118117com12 30 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  0  \/  y  =  K )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
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 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
1191, 118syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... K )  /\  -.  y  e.  (
1..^ K ) )  ->  ( x  e.  ( 0 ... K
)  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
120119ex 425 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  ( -.  y  e.  (
1..^ K )  -> 
( x  e.  ( 0 ... K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
121120com23 75 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 ... K )  ->  (
x  e.  ( 0 ... K )  -> 
( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
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 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) ) )
122121impcom 421 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
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 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
123122com12 30 . 2  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K ) )  ->  ( ( F : ( 0 ... K ) --> V  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( F
" { 0 ,  K } )  i^i  ( F " (
1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  (
( F `  0
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 K )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) ) ) )
124123com25 88 1  |-  ( -.  y  e.  ( 1..^ K )  ->  (
( F `  0
)  =/=  ( F `
 K )  -> 
( ( F :
( 0 ... K
) --> V  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( ( F " { 0 ,  K } )  i^i  ( F " ( 1..^ K ) ) )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... K )  /\  y  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {cpr 3817   class class class wbr 4215   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048  ..^cfzo 11140
This theorem is referenced by:  injresinj  11205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141
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