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Theorem injsurinj 25149
Description: If  E is an injection and  G a surjection  ( f  |->  ( ( E  o.  f )  o.  G
) ) is an injection. Bourbaki E.II.31 prop. 2. (Contributed by FL, 20-Nov-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
injsuinj.1  |-  F1  =  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( ( E  o.  f )  o.  G
) )
Assertion
Ref Expression
injsurinj  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1 : ( B  ^m  A ) -1-1-> ( B1  ^m  A1 ) )
Distinct variable groups:    A, f    f,
A1    B, f    f, B1    f, E    f, G
Allowed substitution hint:    F1( f)

Proof of Theorem injsurinj
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5437 . . 3  |-  ( E : B -1-1-> B1  ->  E : B --> B1 )
2 fof 5451 . . 3  |-  ( G : A1 -onto-> A  ->  G : A1 --> A )
3 id 19 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )
4 injsuinj.1 . . . 4  |-  F1  =  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( ( E  o.  f )  o.  G
) )
54mapmapmap 25148 . . 3  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1 : ( B  ^m  A ) --> ( B1  ^m  A1 )
)
61, 2, 3, 5syl3an 1224 . 2  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1 : ( B  ^m  A ) --> ( B1  ^m  A1 ) )
7 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  x  e.  ( B  ^m  A
) )
81adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  E : B --> B1 )
9 simprlr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  B  e.  _V )
10 fex 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E : B --> B1  /\  B  e.  _V )  ->  E  e.  _V )
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  E  e.  _V )
12113adant2 974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  E  e.  _V )
13 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
14 coexg 5215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( E  o.  x
)  e.  _V )
1512, 13, 14sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  -> 
( E  o.  x
)  e.  _V )
1623ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  G : A1 --> A )
17 simp3rl 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  A1  e.  _V )
18 fex 5749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : A1 --> A  /\  A1  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  G  e.  _V )
20 coexg 5215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  o.  x
)  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( ( E  o.  x )  o.  G
)  e.  _V )
2115, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  -> 
( ( E  o.  x )  o.  G
)  e.  _V )
22213ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  (
( E  o.  x
)  o.  G )  e.  _V )
23 coeq2 4842 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  x  ->  ( E  o.  f )  =  ( E  o.  x ) )
2423coeq1d 4845 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  x  ->  (
( E  o.  f
)  o.  G )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G ) )
2524, 4fvmptg 5600 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( ( E  o.  x )  o.  G
)  e.  _V )  ->  ( F1 `  x
)  =  ( ( E  o.  x )  o.  G ) )
267, 22, 25syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  ( F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G
) )
27 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  y  e.  ( B  ^m  A
) )
28123ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  E  e.  _V )
29 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
30 coexg 5215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( E  o.  y
)  e.  _V )
3128, 29, 30sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  ( E  o.  y )  e.  _V )
32193ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  G  e.  _V )
33 coexg 5215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  o.  y
)  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( ( E  o.  y )  o.  G
)  e.  _V )
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  (
( E  o.  y
)  o.  G )  e.  _V )
35 coeq2 4842 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  y  ->  ( E  o.  f )  =  ( E  o.  y ) )
3635coeq1d 4845 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  y  ->  (
( E  o.  f
)  o.  G )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G ) )
3736, 4fvmptg 5600 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( ( E  o.  y )  o.  G
)  e.  _V )  ->  ( F1 `  y
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G ) )
3827, 34, 37syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  ( F1 `  y )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G
) )
39 eqtr 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( F1 `  x )  /\  ( F1 `  x )  =  ( F1 `  y
) )  ->  (
( E  o.  x
)  o.  G )  =  ( F1 `  y
) )
40 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( F1 `  y )  /\  ( F1 `  y )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G
) )  ->  (
( E  o.  x
)  o.  G )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G ) )
41 simp32 992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  G : A1 -onto-> A )
4213ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  E : B --> B1 )
43423ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  E : B --> B1 )
44 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
x : A --> B ) )
4544ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
x : A --> B ) )
4645biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  ->  x : A --> B ) )
4746adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  ->  x : A
--> B ) )
48473ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  A )  ->  x : A --> B ) )
4948impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  x : A --> B )
50493adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  x : A --> B )
51 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E : B --> B1  /\  x : A --> B )  -> 
( E  o.  x
) : A --> B1 )
5243, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  ( E  o.  x ) : A --> B1 )
53 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
y : A --> B ) )
5453ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
y : A --> B ) )
5554biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( B  ^m  A )  ->  y : A --> B ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( y  e.  ( B  ^m  A
)  ->  y : A
--> B ) )
57563ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  -> 
( y  e.  ( B  ^m  A )  ->  y : A --> B ) )
5857impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  y : A --> B )
59583adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  y : A --> B )
60 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E : B --> B1  /\  y : A --> B )  -> 
( E  o.  y
) : A --> B1 )
6143, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  ( E  o.  y ) : A --> B1 )
62 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G : A1 -onto-> A  ->  G : A1 -onto-> A )
63 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  o.  x ) : A --> B1  ->  ( E  o.  x )  Fn  A )
64 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  o.  y ) : A --> B1  ->  ( E  o.  y )  Fn  A )
65 cocan2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : A1 -onto-> A  /\  ( E  o.  x
)  Fn  A  /\  ( E  o.  y
)  Fn  A )  ->  ( ( ( E  o.  x )  o.  G )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G
)  <->  ( E  o.  x )  =  ( E  o.  y ) ) )
6662, 63, 64, 65syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : A1 -onto-> A  /\  ( E  o.  x
) : A --> B1  /\  ( E  o.  y ) : A --> B1 )  ->  (
( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  <->  ( E  o.  x )  =  ( E  o.  y ) ) )
6766biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : A1 -onto-> A  /\  ( E  o.  x
) : A --> B1  /\  ( E  o.  y ) : A --> B1 )  ->  (
( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  -> 
( E  o.  x
)  =  ( E  o.  y ) ) )
6841, 52, 61, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  (
( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  -> 
( E  o.  x
)  =  ( E  o.  y ) ) )
6968impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) ) )  -> 
( E  o.  x
)  =  ( E  o.  y ) )
70 simpr31 1045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) ) )  ->  E : B -1-1-> B1 )
7150adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) ) )  ->  x : A --> B )
7259adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) ) )  -> 
y : A --> B )
73 cocan1 5801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  x : A --> B  /\  y : A --> B )  ->  ( ( E  o.  x )  =  ( E  o.  y
)  <->  x  =  y
) )
7470, 71, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) ) )  -> 
( ( E  o.  x )  =  ( E  o.  y )  <-> 
x  =  y ) )
7569, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) ) )  ->  x  =  y )
7675ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E  o.  x
)  o.  G )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
7740, 76syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( F1 `  y )  /\  ( F1 `  y )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G
) )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
7877ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E  o.  x
)  o.  G )  =  ( F1 `  y
)  ->  ( ( F1 `  y )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G
)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
7939, 78syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( E  o.  x )  o.  G
)  =  ( F1 `  x )  /\  ( F1 `  x )  =  ( F1 `  y
) )  ->  (
( F1 `  y )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
8079ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  o.  x
)  o.  G )  =  ( F1 `  x
)  ->  ( ( F1 `  x )  =  ( F1 `  y
)  ->  ( ( F1 `  y )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G
)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
8180eqcoms 2286 . . . . . . . 8  |-  ( (
F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( F1 `  x )  =  ( F1 `  y
)  ->  ( ( F1 `  y )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G
)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
8281com4t 79 . . . . . . 7  |-  ( (
F1 `  y )  =  ( ( E  o.  y )  o.  G )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  (
( F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( F1 `  x )  =  ( F1 `  y
)  ->  x  =  y ) ) ) )
8338, 82mpcom 32 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  (
( F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( F1 `  x )  =  ( F1 `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
8426, 83mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) ) )  ->  (
( F1 `  x )  =  ( F1 `  y
)  ->  x  =  y ) )
85843expia 1153 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  y  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( ( F1 `  x )  =  ( F1 `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
8685com12 27 . . 3  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( B  ^m  A
)  /\  y  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  ( ( F1 `  x )  =  ( F1 `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
8786ralrimivv 2634 . 2  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  A. x  e.  ( B  ^m  A ) A. y  e.  ( B  ^m  A ) ( (
F1 `  x )  =  ( F1 `  y
)  ->  x  =  y ) )
88 dff13 5783 . 2  |-  ( F1 : ( B  ^m  A ) -1-1-> ( B1  ^m  A1 )  <->  ( F1 :
( B  ^m  A
) --> ( B1  ^m  A1 )  /\  A. x  e.  ( B  ^m  A ) A. y  e.  ( B  ^m  A ) ( ( F1 `  x
)  =  ( F1 `  y )  ->  x  =  y ) ) )
896, 87, 88sylanbrc 645 1  |-  ( ( E : B -1-1-> B1  /\  G : A1 -onto-> A  /\  ( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1 : ( B  ^m  A ) -1-1-> ( B1  ^m  A1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774
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