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Theorem injsurinj 25149
 Description: If is an injection and a surjection is an injection. Bourbaki E.II.31 prop. 2. (Contributed by FL, 20-Nov-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
injsuinj.1
Assertion
Ref Expression
injsurinj
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem injsurinj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5437 . . 3
2 fof 5451 . . 3
3 id 19 . . 3
4 injsuinj.1 . . . 4
54mapmapmap 25148 . . 3
61, 2, 3, 5syl3an 1224 . 2
7 simp1 955 . . . . . . 7
81adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9 simprlr 739 . . . . . . . . . . . 12
10 fex 5749 . . . . . . . . . . . 12
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
12113adant2 974 . . . . . . . . . 10
13 vex 2791 . . . . . . . . . 10
14 coexg 5215 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14sylancl 643 . . . . . . . . 9
1623ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10
17 simp3rl 1028 . . . . . . . . . 10
18 fex 5749 . . . . . . . . . 10
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . 9
20 coexg 5215 . . . . . . . . 9
2115, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . 8
22213ad2ant3 978 . . . . . . 7
23 coeq2 4842 . . . . . . . . 9
2423coeq1d 4845 . . . . . . . 8
2524, 4fvmptg 5600 . . . . . . 7
267, 22, 25syl2anc 642 . . . . . 6
27 simp2 956 . . . . . . . 8
28123ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10
29 vex 2791 . . . . . . . . . 10
30 coexg 5215 . . . . . . . . . 10
3128, 29, 30sylancl 643 . . . . . . . . 9
32193ad2ant3 978 . . . . . . . . 9
33 coexg 5215 . . . . . . . . 9
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8
35 coeq2 4842 . . . . . . . . . 10
3635coeq1d 4845 . . . . . . . . 9
3736, 4fvmptg 5600 . . . . . . . 8
3827, 34, 37syl2anc 642 . . . . . . 7
39 eqtr 2300 . . . . . . . . . . 11
40 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . 13
41 simp32 992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4213ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43423ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4544ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4645biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4746adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48473ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4948impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50493adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5243, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
53 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5554biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57563ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5857impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59583adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6143, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65 cocan2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6662, 63, 64, 65syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6841, 52, 61, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 simpr31 1045 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7150adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7259adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 cocan1 5801 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7470, 71, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
7569, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14
7675ex 423 . . . . . . . . . . . . 13
7740, 76syl 15 . . . . . . . . . . . 12
7877ex 423 . . . . . . . . . . 11
7939, 78syl 15 . . . . . . . . . 10
8079ex 423 . . . . . . . . 9
8180eqcoms 2286 . . . . . . . 8
8281com4t 79 . . . . . . 7
8338, 82mpcom 32 . . . . . 6
8426, 83mpd 14 . . . . 5
85843expia 1153 . . . 4
8685com12 27 . . 3
8786ralrimivv 2634 . 2
88 dff13 5783 . 2
896, 87, 88sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   cmpt 4077   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  wf1 5252  wfo 5253  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmap 6772 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774
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