Theorem inpc 10476

Description: Inclusion is a proper class. (Part of FL's sandbox.)

Hypothesis

Ref	Expression
inpc.1	|- C = {<.x, y>. | x (_ y}

Assertion

Ref	Expression
inpc	|- -. C e. V

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem inpc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvelv 2718	. . 3 |- -. V e. V
2		inpc.1	. . . . . 6 |- C = {<.x, y>. | x (_ y}
3	2	dmeqi 3318	. . . . 5 |- dom C = dom {<.x, y>. | x (_ y}
4		dmopab 3326	. . . . 5 |- dom {<.x, y>. | x (_ y} = {x | E.y x (_ y}
5		abeq1 1572	. . . . . 6 |- ({x | E.y x (_ y} = V <-> A.x(E.y x (_ y <-> x e. V))
6		ssid 2083	. . . . . . . 8 |- x (_ x
7		equcomi 1130	. . . . . . . . . . 11 |- (y = x -> x = y)
8	7	sseq2d 2092	. . . . . . . . . 10 |- (y = x -> (x (_ x <-> x (_ y))
9	8	biimpd 153	. . . . . . . . 9 |- (y = x -> (x (_ x -> x (_ y))
10	9	a4imev 1275	. . . . . . . 8 |- (x (_ x -> E.y x (_ y)
11	6, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- E.y x (_ y
12		visset 1816	. . . . . . 7 |- x e. V
13	11, 12	2th 720	. . . . . 6 |- (E.y x (_ y <-> x e. V)
14	5, 13	mpgbir 990	. . . . 5 |- {x | E.y x (_ y} = V
15	3, 4, 14	3eqtr 1502	. . . 4 |- dom C = V
16	15	eleq1i 1540	. . 3 |- (dom C e. V <-> V e. V)
17	1, 16	mtbir 192	. 2 |- -. dom C e. V
18		dmexg 3364	. 2 |- (C e. V -> dom C e. V)
19	17, 18	mto 106	1 |- -. C e. V

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466  Vcvv 1814   (_ wss 2050  {copab 2671  dom cdm 3176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195

Copyright terms: Public domain