Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inpc Unicode version

Theorem inpc 25277
Description: Inclusion is a proper class. (Contributed by FL, 22-Sep-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
inpc.1  |-  C  =  { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }
Assertion
Ref Expression
inpc  |-  -.  C  e.  _V
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)

Proof of Theorem inpc
StepHypRef Expression
1 vprc 4152 . . 3  |-  -.  _V  e.  _V
2 inpc.1 . . . . . 6  |-  C  =  { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }
32dmeqi 4880 . . . . 5  |-  dom  C  =  dom  { <. x ,  y >.  |  x 
C_  y }
4 dmopab 4889 . . . . 5  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  x  C_  y }  =  { x  |  E. y  x  C_  y }
5 abeq1 2389 . . . . . 6  |-  ( { x  |  E. y  x  C_  y }  =  _V 
<-> 
A. x ( E. y  x  C_  y  <->  x  e.  _V ) )
6 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  x  C_  x
7 equcomi 1646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  x  =  y )
87sseq2d 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  x  <->  x  C_  y
) )
98biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  x  ->  x 
C_  y ) )
109spimev 1939 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  x  ->  E. y  x  C_  y )
116, 10ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  E. y  x  C_  y
12 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1311, 122th 230 . . . . . 6  |-  ( E. y  x  C_  y  <->  x  e.  _V )
145, 13mpgbir 1537 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  x  C_  y }  =  _V
153, 4, 143eqtri 2307 . . . 4  |-  dom  C  =  _V
1615eleq1i 2346 . . 3  |-  ( dom 
C  e.  _V  <->  _V  e.  _V )
171, 16mtbir 290 . 2  |-  -.  dom  C  e.  _V
18 dmexg 4939 . 2  |-  ( C  e.  _V  ->  dom  C  e.  _V )
1917, 18mto 167 1  |-  -.  C  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {copab 4076   dom cdm 4689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator