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Theorem inposet 25381
Description: Inclusion partially orders any set. (Contributed by FL, 22-Sep-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
inposet.1  |-  C  =  { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }
Assertion
Ref Expression
inposet  |-  ( A  e.  B  ->  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, C, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem inposet
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4810 . . . 4  |-  Rel  ( A  X.  A )
2 relin2 4820 . . . 4  |-  ( Rel  ( A  X.  A
)  ->  Rel  ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  Rel  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )
4 brinxp2 4767 . . . . . . 7  |-  ( x ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) z  <->  ( x  e.  A  /\  z  e.  A  /\  x C z ) )
5 brinxp2 4767 . . . . . . 7  |-  ( z ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) y  <->  ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z C y ) )
6 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  x  ->  (
a C z  <->  x C
z ) )
7 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  x  ->  (
a  C_  y  <->  x  C_  y
) )
86, 7imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  (
( a C z  ->  a  C_  y
)  <->  ( x C z  ->  x  C_  y
) ) )
98imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  (
( z C y  ->  ( a C z  ->  a  C_  y ) )  <->  ( z C y  ->  (
x C z  ->  x  C_  y ) ) ) )
10 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  y  ->  (
z C b  <->  z C
y ) )
11 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  y  ->  (
a  C_  b  <->  a  C_  y ) )
1211imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  y  ->  (
( a C z  ->  a  C_  b
)  <->  ( a C z  ->  a  C_  y ) ) )
1310, 12imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  y  ->  (
( z C b  ->  ( a C z  ->  a  C_  b ) )  <->  ( z C y  ->  (
a C z  -> 
a  C_  y )
) ) )
14 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
15 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  b  e. 
_V
16 inposet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  =  { <. x ,  y
>.  |  x  C_  y }
1714, 15, 16inposetlem 25379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z C b  <->  z  C_  b )
18 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  a  e. 
_V
1918, 14, 16inposetlem 25379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a C z  <->  a  C_  z )
20 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a 
C_  z  ->  (
z  C_  b  ->  a 
C_  b ) )
2119, 20sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a C z  ->  (
z  C_  b  ->  a 
C_  b ) )
2221com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  b  ->  (
a C z  -> 
a  C_  b )
)
2317, 22sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z C b  ->  (
a C z  -> 
a  C_  b )
)
2413, 23chvarv 1966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z C y  ->  (
a C z  -> 
a  C_  y )
)
259, 24chvarv 1966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z C y  ->  (
x C z  ->  x  C_  y ) )
26253ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z C y )  -> 
( x C z  ->  x  C_  y
) )
2726com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( x C z  ->  (
( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z C y )  ->  x  C_  y
) )
28273ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A  /\  x C z )  -> 
( ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z C y )  ->  x  C_  y ) )
2928imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A  /\  x C z )  /\  ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z C y ) )  ->  x  C_  y )
30 simp1 955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A  /\  x C z )  ->  x  e.  A )
31 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z C y )  -> 
y  e.  A )
3230, 31anim12i 549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A  /\  x C z )  /\  ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z C y ) )  -> 
( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )
3329, 32jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A  /\  x C z )  /\  ( z  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z C y ) )  -> 
( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) ) )
344, 5, 33syl2anb 465 . . . . . 6  |-  ( ( x ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) z  /\  z ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) y )  ->  ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
3534exlimiv 1624 . . . . 5  |-  ( E. z ( x ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) z  /\  z ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) y )  ->  (
x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) ) )
3635ssopab2i 4308 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( x ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) z  /\  z ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) }
37 df-co 4714 . . . 4  |-  ( ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) z  /\  z ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) }
3816ineq1i 3379 . . . . 5  |-  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  x 
C_  y }  i^i  ( A  X.  A
) )
39 df-xp 4711 . . . . . 6  |-  ( A  X.  A )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) }
4039ineq2i 3380 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  x  C_  y }  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  x 
C_  y }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )
41 inopab 4832 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  x  C_  y }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) }
4238, 40, 413eqtri 2320 . . . 4  |-  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  C_  y  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) }
4336, 37, 423sstr4i 3230 . . 3  |-  ( ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )
44 asymref 5075 . . . 4  |-  ( ( ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. a  e.  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) A. b ( ( a ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) a )  <-> 
a  =  b ) )
45 uniin 3863 . . . . . 6  |-  U. ( U. C  i^i  U. ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. C  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
46 uniin 3863 . . . . . . . 8  |-  U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( U. C  i^i  U. ( A  X.  A
) )
47 uniss 3864 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. C  i^i  U. ( A  X.  A ) )  ->  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  U. ( U. C  i^i  U. ( A  X.  A ) ) )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  U. ( U. C  i^i  U. ( A  X.  A ) )
4948sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( a  e.  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
a  e.  U. ( U. C  i^i  U. ( A  X.  A ) ) )
5045, 49sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( a  e.  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  -> 
a  e.  ( U. U. C  i^i  U. U. ( A  X.  A
) ) )
51 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( U. U. C  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  <-> 
( a  e.  U. U. C  /\  a  e. 
U. U. ( A  X.  A ) ) )
52 unixpss 4815 . . . . . . . . 9  |-  U. U. ( A  X.  A
)  C_  ( A  u.  A )
5352sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  U. U. ( A  X.  A )  -> 
a  e.  ( A  u.  A ) )
54 unidm 3331 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  A )  =  A
5553, 54syl6eleq 2386 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U. U. ( A  X.  A )  -> 
a  e.  A )
5655adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  U. U. C  /\  a  e.  U. U. ( A  X.  A
) )  ->  a  e.  A )
5751, 56sylbi 187 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( U. U. C  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  a  e.  A
)
58 brinxp2 4767 . . . . . . . . 9  |-  ( a ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  <->  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a C b ) )
59 brinxp2 4767 . . . . . . . . 9  |-  ( b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) a  <->  ( b  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b C a ) )
6058, 59anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( a ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) a )  <-> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a C b )  /\  (
b  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b C a ) ) )
6118, 15, 16inposetlem 25379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a C b  <->  a  C_  b )
6215, 18, 16inposetlem 25379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b C a  <->  b  C_  a )
63 eqss 3207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  b  <->  ( a  C_  b  /\  b  C_  a ) )
6463simplbi2com 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b 
C_  a  ->  (
a  C_  b  ->  a  =  b ) )
6562, 64sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b C a  ->  (
a  C_  b  ->  a  =  b ) )
66653ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b C a )  -> 
( a  C_  b  ->  a  =  b ) )
6766com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a 
C_  b  ->  (
( b  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b C a )  ->  a  =  b ) )
6861, 67sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a C b  ->  (
( b  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b C a )  ->  a  =  b ) )
69683ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a C b )  -> 
( ( b  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b C a )  ->  a  =  b ) )
7069imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a C b )  /\  ( b  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b C a ) )  -> 
a  =  b )
7170a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  A  ->  (
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a C b )  /\  (
b  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b C a ) )  ->  a  =  b ) )
7260, 71syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  A  ->  (
( a ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) a )  ->  a  =  b ) )
73 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  A  ->  b  e.  A )
74 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  b  C_  b
7515, 15, 16inposetlem 25379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b C b  <->  b  C_  b )
7674, 75mpbir 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  b C b
7776a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  A  ->  b C b )
78 brinxp2 4767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  <->  ( b  e.  A  /\  b  e.  A  /\  b C b ) )
7973, 73, 77, 78syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  A  ->  b
( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b )
80 anidmdbi 627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  A  -> 
( b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b ) )  <->  ( b  e.  A  ->  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b ) )
8179, 80mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  A  ->  (
b ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) b ) )
82 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  A  <->  b  e.  A ) )
83 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) b  <->  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b ) )
84 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
b ( C  i^i  ( A  X.  A
) ) a  <->  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b ) )
8583, 84anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
( a ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) a )  <->  ( b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b ) ) )
8682, 85imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  e.  A  ->  ( a ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) a ) )  <->  ( b  e.  A  ->  ( b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b ) ) ) )
8781, 86mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  A  -> 
( a ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) a ) ) )
8887com12 27 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  A  ->  (
a  =  b  -> 
( a ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) a ) ) )
8972, 88impbid 183 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  (
( a ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) a )  <->  a  =  b ) )
9089alrimiv 1621 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  A. b
( ( a ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) a )  <->  a  =  b ) )
9150, 57, 903syl 18 . . . 4  |-  ( a  e.  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  ->  A. b ( ( a ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) b  /\  b ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) a )  <->  a  =  b ) )
9244, 91mprgbir 2626 . . 3  |-  ( ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) )
933, 43, 923pm3.2i 1130 . 2  |-  ( Rel  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( C  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( C  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
94 xpexg 4816 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  e.  B )  ->  ( A  X.  A
)  e.  _V )
9594anidms 626 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  X.  A )  e. 
_V )
96 incom 3374 . . . 4  |-  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( A  X.  A )  i^i  C
)
97 inex1g 4173 . . . 4  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  (
( A  X.  A
)  i^i  C )  e.  _V )
9896, 97syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
99 isps 14327 . . 3  |-  ( ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( C  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
<->  ( Rel  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( C  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( C  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( C  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
10095, 98, 993syl 18 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  (
( C  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
<->  ( Rel  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( C  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( C  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( C  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( C  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
10193, 100mpbiri 224 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( C  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   {copab 4092    _I cid 4320    X. cxp 4703   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   PosetRelcps 14317
This theorem is referenced by:  toplat  25393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-res 4717  df-ps 14322
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