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Theorem insiga 24512
Description: The intersection of a collection of sigma-algebras of same base is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
insiga  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )

Proof of Theorem insiga
Dummy variables  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intex 4348 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  |^| A  e.  _V )
21biimpi 187 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  e. 
_V )
32adantr 452 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  _V )
4 intssuni 4064 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  C_  U. A )
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  C_  U. A
)
6 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )
7 elpwi 3799 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P (sigAlgebra `  O
)  ->  A  C_  (sigAlgebra `  O ) )
8 sigasspw 24491 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
s  C_  ~P O
)
9 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
109elpw 3797 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P ~P O  <->  s 
C_  ~P O )
118, 10sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
s  e.  ~P ~P O )
1211ssriv 3344 . . . . . 6  |-  (sigAlgebra `  O
)  C_  ~P ~P O
137, 12syl6ss 3352 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P (sigAlgebra `  O
)  ->  A  C_  ~P ~P O )
146, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A  C_  ~P ~P O )
15 sspwuni 4168 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P ~P O  <->  U. A  C_  ~P O )
1614, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  U. A  C_  ~P O )
175, 16sstrd 3350 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  C_  ~P O )
18 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  s  e.  A )
19 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )
20 elelpwi 3801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  A  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  -> 
s  e.  (sigAlgebra `  O
) )
2118, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) )
22 issiga 24486 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( s  C_  ~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) ) )
239, 22ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( s  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
2421, 23sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  ( s  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) )
2524simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  ( O  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )
2625simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  O  e.  s )
2726ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. s  e.  A  O  e.  s )
28 n0 3629 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. s  s  e.  A )
2928biimpi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. s 
s  e.  A )
3029adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  E. s  s  e.  A )
3121ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( s  e.  A  ->  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) ) )
3231eximdv 1632 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( E. s 
s  e.  A  ->  E. s  s  e.  (sigAlgebra `
 O ) ) )
3330, 32mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  E. s  s  e.  (sigAlgebra `  O ) )
34 elfvex 5750 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
3534exlimiv 1644 . . . . . 6  |-  ( E. s  s  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
3633, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  O  e.  _V )
37 elintg 4050 . . . . 5  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  O  e.  s ) )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  e. 
|^| A  <->  A. s  e.  A  O  e.  s ) )
3927, 38mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  O  e.  |^| A )
40 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) ) )
41 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
4240, 41jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  (
( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
) )
43 elinti 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  |^| A  ->  (
s  e.  A  ->  x  e.  s )
)
4443imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  e.  s )
4544adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  s )
4625simp2d 970 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A. x  e.  s  ( O  \  x )  e.  s )
4746r19.21bi 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  s )  ->  ( O  \  x )  e.  s )
4842, 45, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  |^| A )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  \  x )  e.  s )
4948ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s )
50 difexg 4343 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  \  x )  e. 
_V )
5136, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  \  x )  e.  _V )
5251adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( O  \  x )  e. 
_V )
53 elintg 4050 . . . . . 6  |-  ( ( O  \  x )  e.  _V  ->  (
( O  \  x
)  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s ) )
5452, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  (
( O  \  x
)  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  ( O  \  x )  e.  s ) )
5549, 54mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  |^| A )  ->  ( O  \  x )  e. 
|^| A )
5655ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A )
57 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) ) )
58 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
5957, 58jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  (
( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
) )
60 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  ~P |^| A )
61 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P |^| A  ->  x  C_  |^| A )
62 intss1 4057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  |^| A  C_  s )
6361, 62sylan9ss 3353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  C_  s
)
64 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
6564elpw 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P s  <->  x  C_  s
)
6663, 65sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P |^| A  /\  s  e.  A
)  ->  x  e.  ~P s )
6760, 66sylancom 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  e.  ~P s )
6859, 67jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  ~P s ) )
69 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  x  ~<_  om )
7025simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  s  e.  A
)  ->  A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )
7170r19.21bi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  s  e.  A
)  /\  x  e.  ~P s )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )
7268, 69, 71sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e. 
~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  /\  s  e.  A )  ->  U. x  e.  s )
7372ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  A. s  e.  A  U. x  e.  s )
74 uniexg 4698 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P |^| A  ->  U. x  e.  _V )
7574ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  _V )
76 elintg 4050 . . . . . . 7  |-  ( U. x  e.  _V  ->  ( U. x  e.  |^| A 
<-> 
A. s  e.  A  U. x  e.  s
) )
7775, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  ( U. x  e.  |^| A  <->  A. s  e.  A  U. x  e.  s ) )
7873, 77mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `
 O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  /\  x  ~<_  om )  ->  U. x  e.  |^| A )
7978ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  /\  x  e.  ~P |^| A )  ->  (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A ) )
8079ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  A. x  e.  ~P  |^| A ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  |^| A ) )
8139, 56, 803jca 1134 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  ( O  e. 
|^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A  /\  A. x  e.  ~P  |^| A
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A
) ) )
82 issiga 24486 . . 3  |-  ( |^| A  e.  _V  ->  (
|^| A  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( |^| A  C_  ~P O  /\  ( O  e.  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A ( O  \  x )  e.  |^| A  /\  A. x  e. 
~P  |^| A ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  |^| A ) ) ) ) )
8382biimpar 472 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  _V  /\  ( |^| A  C_  ~P O  /\  ( O  e.  |^| A  /\  A. x  e.  |^| A
( O  \  x
)  e.  |^| A  /\  A. x  e.  ~P  |^| A ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  |^| A ) ) ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )
843, 17, 81, 83syl12anc 1182 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  ~P (sigAlgebra `  O ) )  ->  |^| A  e.  (sigAlgebra `  O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   |^|cint 4042   class class class wbr 4204   omcom 4837   ` cfv 5446    ~<_ cdom 7099  sigAlgebracsiga 24482
This theorem is referenced by:  sigagensiga  24516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-siga 24483
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