MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intasym Structured version   Unicode version

Theorem intasym 5251
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intasym  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
Distinct variable group:    x, y, R

Proof of Theorem intasym
StepHypRef Expression
1 relcnv 5244 . . 3  |-  Rel  `' R
2 relin2 4995 . . 3  |-  ( Rel  `' R  ->  Rel  ( R  i^i  `' R ) )
3 ssrel 4966 . . 3  |-  ( Rel  ( R  i^i  `' R )  ->  (
( R  i^i  `' R )  C_  _I  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . 2  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R
)  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) )
5 elin 3532 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
6 df-br 4215 . . . . . 6  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
7 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
8 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
97, 8brcnv 5057 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
10 df-br 4215 . . . . . . 7  |-  ( x `' R y  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
119, 10bitr3i 244 . . . . . 6  |-  ( y R x  <->  <. x ,  y >.  e.  `' R )
126, 11anbi12i 680 . . . . 5  |-  ( ( x R y  /\  y R x )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  /\  <. x ,  y
>.  e.  `' R ) )
135, 12bitr4i 245 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  <->  ( x R y  /\  y R x ) )
14 df-br 4215 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
158ideq 5027 . . . . 5  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1614, 15bitr3i 244 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  =  y
)
1713, 16imbi12i 318 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
18172albii 1577 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  i^i  `' R )  ->  <. x ,  y >.  e.  _I  ) 
<-> 
A. x A. y
( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y ) )
194, 18bitri 242 1  |-  ( ( R  i^i  `' R
)  C_  _I  <->  A. x A. y ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550    e. wcel 1726    i^i cin 3321    C_ wss 3322   <.cop 3819   class class class wbr 4214    _I cid 4495   `'ccnv 4879   Rel wrel 4885
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888
  Copyright terms: Public domain W3C validator