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Theorem intcont 25543
Description: If  F is continous over two topologies  J and  K then it is continuous over  ( J  i^i  K
). (Contributed by FL, 27-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
intcont  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  ->  F  e.  ( ( J  i^i  K )  Cn  L ) )

Proof of Theorem intcont
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. L  =  U. L
31, 2iscn2 16968 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43baib 871 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  L )  <-> 
( F : U. J
--> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
543adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  L )  <->  ( F : U. J --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  L )  <->  ( F : U. J --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
7 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
87, 2iscn2 16968 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F : U. K --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K ) ) )
98baib 871 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( K  Cn  L )  <-> 
( F : U. K
--> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K ) ) )
1093adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( F : U. K --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K ) ) )
1110adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K )  ->  ( F  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( F : U. K --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K ) ) )
126, 11anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K )  ->  (
( F  e.  ( J  Cn  L )  /\  F  e.  ( K  Cn  L ) )  <->  ( ( F : U. J --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( F : U. K --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K ) ) ) )
1312biimp3a 1281 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  -> 
( ( F : U. J --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( F : U. K --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K ) ) )
14 pm3.2an3 1131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  ( K  e.  Top  ->  ( U. J  =  U. K  ->  ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  = 
U. K ) ) ) )
1514imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. J  = 
U. K  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K ) ) )
16153adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( U. J  =  U. K  ->  ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  = 
U. K ) ) )
1716imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K ) )
18173adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  -> 
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K
) )
19 unint2t 25518 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  U. J  =  U. K )  ->  U. ( J  i^i  K )  =  U. J
)
20 feq2 5376 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  =  U. ( J  i^i  K )  -> 
( F : U. J
--> U. L  <->  F : U. ( J  i^i  K
) --> U. L ) )
2120biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( U. J  =  U. ( J  i^i  K )  -> 
( F : U. J
--> U. L  ->  F : U. ( J  i^i  K ) --> U. L ) )
2221eqcoms 2286 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( J  i^i  K )  =  U. J  -> 
( F : U. J
--> U. L  ->  F : U. ( J  i^i  K ) --> U. L ) )
2318, 19, 223syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  -> 
( F : U. J
--> U. L  ->  F : U. ( J  i^i  K ) --> U. L ) )
2423adantrd 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  -> 
( ( F : U. J --> U. L  /\  F : U. K --> U. L
)  ->  F : U. ( J  i^i  K
) --> U. L ) )
25 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K )  <->  ( ( `' F " x )  e.  J  /\  ( `' F " x )  e.  K ) )
2625simplbi2 608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " x )  e.  J  ->  (
( `' F "
x )  e.  K  ->  ( `' F "
x )  e.  ( J  i^i  K ) ) )
2726ral2imi 2619 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J  ->  ( A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K  ->  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K
) ) )
2827imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K )  ->  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K ) )
2928a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  -> 
( ( A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K )  ->  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K
) ) )
3024, 29anim12d 546 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  -> 
( ( ( F : U. J --> U. L  /\  F : U. K --> U. L )  /\  ( A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K ) )  ->  ( F : U. ( J  i^i  K
) --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K ) ) ) )
3130com12 27 . . . 4  |-  ( ( ( F : U. J
--> U. L  /\  F : U. K --> U. L
)  /\  ( A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K ) )  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L )  /\  F  e.  ( K  Cn  L ) ) )  ->  ( F : U. ( J  i^i  K
) --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K ) ) ) )
3231an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( F : U. J
--> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  J )  /\  ( F : U. K --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  K ) )  -> 
( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e. 
Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L )  /\  F  e.  ( K  Cn  L ) ) )  ->  ( F : U. ( J  i^i  K
) --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K ) ) ) )
3313, 32mpcom 32 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  -> 
( F : U. ( J  i^i  K ) --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K ) ) )
34 inttop4 25517 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  i^i  K
)  e.  Top )
35343adant3 975 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( J  i^i  K )  e. 
Top )
36353ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  -> 
( J  i^i  K
)  e.  Top )
37 simp13 987 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  ->  L  e.  Top )
38 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. ( J  i^i  K )  = 
U. ( J  i^i  K )
3938, 2iscn2 16968 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  i^i  K )  Cn  L )  <->  ( (
( J  i^i  K
)  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  ( F : U. ( J  i^i  K ) --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K ) ) ) )
4039baib 871 . . 3  |-  ( ( ( J  i^i  K
)  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( J  i^i  K
)  Cn  L )  <-> 
( F : U. ( J  i^i  K ) --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K ) ) ) )
4136, 37, 40syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  -> 
( F  e.  ( ( J  i^i  K
)  Cn  L )  <-> 
( F : U. ( J  i^i  K ) --> U. L  /\  A. x  e.  L  ( `' F " x )  e.  ( J  i^i  K ) ) ) )
4233, 41mpbird 223 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  /\  U. J  =  U. K  /\  ( F  e.  ( J  Cn  L
)  /\  F  e.  ( K  Cn  L
) ) )  ->  F  e.  ( ( J  i^i  K )  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251  (class class class)co 5858   Topctop 16631    Cn ccn 16954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957
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