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Theorem intfmu2 25519
Description: The intersection of a family of topologies over the same underying set  U. J is a topology over  U. J. (Contributed by FL, 27-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
intfmu2  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  ->  U. |^| T  =  U. J )
Distinct variable groups:    x, J    x, T

Proof of Theorem intfmu2
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intss1 3877 . . . 4  |-  ( J  e.  T  ->  |^| T  C_  J )
213ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  ->  |^| T  C_  J )
3 uniss 3848 . . 3  |-  ( |^| T  C_  J  ->  U. |^| T  C_  U. J )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  ->  U. |^| T  C_  U. J
)
5 ssel 3174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T 
C_  Top  ->  ( x  e.  T  ->  x  e.  Top ) )
6 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. x  =  U. x
76topopn 16652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Top  ->  U. x  e.  x )
85, 7syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T 
C_  Top  ->  ( x  e.  T  ->  U. x  e.  x ) )
98adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T )  ->  (
x  e.  T  ->  U. x  e.  x
) )
109imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T )  /\  x  e.  T
)  ->  U. x  e.  x )
11 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  =  U. x  ->  ( U. J  e.  x  <->  U. x  e.  x
) )
1211eqcoms 2286 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  =  U. J  -> 
( U. J  e.  x  <->  U. x  e.  x
) )
1310, 12syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T )  /\  x  e.  T
)  ->  ( U. x  =  U. J  ->  U. J  e.  x
) )
1413ralimdva 2621 . . . . . . 7  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T )  ->  ( A. x  e.  T  U. x  =  U. J  ->  A. x  e.  T  U. J  e.  x
) )
15143impia 1148 . . . . . 6  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  ->  A. x  e.  T  U. J  e.  x
)
16 uniexg 4517 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  T  ->  U. J  e.  _V )
17163ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  ->  U. J  e.  _V )
18 elintg 3870 . . . . . . 7  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  e.  |^| T 
<-> 
A. x  e.  T  U. J  e.  x
) )
1917, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  -> 
( U. J  e. 
|^| T  <->  A. x  e.  T  U. J  e.  x ) )
2015, 19mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  ->  U. J  e.  |^| T
)
21 elssuni 3855 . . . . 5  |-  ( a  e.  J  ->  a  C_ 
U. J )
22 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( b  =  U. J  -> 
( a  C_  b  <->  a 
C_  U. J ) )
2322rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( U. J  e.  |^| T  /\  a  C_  U. J
)  ->  E. b  e.  |^| T a  C_  b )
2420, 21, 23syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  /\  a  e.  J
)  ->  E. b  e.  |^| T a  C_  b )
2524ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  ->  A. a  e.  J  E. b  e.  |^| T
a  C_  b )
26 uniss2 3858 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  E. b  e.  |^| T a 
C_  b  ->  U. J  C_ 
U. |^| T )
2725, 26syl 15 . 2  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  ->  U. J  C_  U. |^| T )
284, 27eqssd 3196 1  |-  ( ( T  C_  Top  /\  J  e.  T  /\  A. x  e.  T  U. x  =  U. J )  ->  U. |^| T  =  U. J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827   |^|cint 3862   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  usptop  25550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627  df-uni 3828  df-int 3863  df-top 16636
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